Use o método das seções transversais para determinar o volume do sólido S, onde S é o sólido limitado pelo plano z=0 e o gráfico da função:
f(x, y)=x^2+y^2, 1 <= x <= 2 e 0 <= y <= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o volume de um sólido S que está limitado pelo plano z = 0 e pelo gráfico da função f(x, y) = x^2 + y^2 , onde 1 <= x <= 2 e 0 <= y <= 2 . Vamos usar o método das seções transversais, que basicamente envolve integrar a função sobre a área definida pelos limites dados. Para isso, vamos precisar usar integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o volume V do sólido pode ser calculado integrando a função f(x, y) = x^2 + y^2 sobre a região R definida pelos limites 1 <= x <= 2 e 0 <= y <= 2 . Em termos de integrais, isso fica assim:
V = integralx=1^2 integraly=0^2 (x^2 + y^2) , dy , dx

Passo 3

Vamos primeiro integrar em relação a y . Mantendo x constante, a integral interna fica:
integral0^2 (x^2 + y^2) , dy
Integrando termo a termo:
integral0^2 x^2 , dy = x^2 cdot y g|0^2 = x^2 cdot 2 - x^2 cdot 0 = 2x^2
integral0^2 y^2 , dy = y^33 g|0^2 = 83 - 0 = 83
Então, a integral interna resulta em:
2x^2 + 83

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a x :
V = integral1^2 (2x^2 + 83) , dx
Integrando termo a termo:
2 integral1^2 x^2 , dx = 2 cdot ( x^33 g|1^2 ) = 2 cdot ( 83 - 13 ) = 2 cdot 73 = 143
83 integral1^2 dx = 83 cdot (2 - 1) = 83 cdot 1 = 83
Somando os dois resultados:
V = 143 + 83 = 223

Resposta

O volume do sólido S é dfrac223 unidades cúbicas.

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