Use o teorema de Green para calcular
onde
é o triângulo com vértices
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o triângulo com vértices
,
e
.
O conteúdo aqui é o Teorema de Green, que diz
O conteúdo aqui é o Teorema de Green, que diz
onde
é a região interna a
.
Passo 2
Identificamos as funções
Calculamos as derivadas parciais:
Logo o integrando será
Passo 3
Para usar Green, descrevemos o domínio
. O triângulo tem arestas:
– o segmento no eixo de
até
,
– o segmento vertical de até
,
– a reta de até
, dada por
.
Em coordenadas:
– o segmento no eixo
– o segmento vertical de
– a reta de
Em coordenadas:
Passo 4
Aplicando o Teorema de Green:
Passo 5
Calculamos primeiro a integral interna em
:
Passo 6
Agora integramos em
: