Use o teorema de Green para calcular
integralC raiz1+x^3 d x+2 x y d y
onde C é o triângulo com vértices (0,0),(1,0) e(1,3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
ointC raiz1+x^3,dx ;+;2xy,dy
onde C é o triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (1,3).
O conteúdo aqui é o Teorema de Green, que diz
ointC P,dx + Q,dy ;=; integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA,
onde D é a região interna a C.

Passo 2

Identificamos as funções
P(x,y) = raiz1+x^3, Q(x,y) = 2xy
Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = 2y, partial Ppartial y = 0
Logo o integrando será
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2y

Passo 3

Para usar Green, descrevemos o domínio D. O triângulo tem arestas:
– o segmento no eixo x de (0,0) até (1,0),
– o segmento vertical de (1,0) até (1,3),
– a reta de (0,0) até (1,3), dada por y=3x.
Em coordenadas:
0 <= x <= 1, 0 <= y <= 3x

Passo 4

Aplicando o Teorema de Green:
ointC raiz1+x^3,dx + 2xy,dy = integral duplaD 2y,dA = integralx=0^1 !integraly=0^3x 2y,dy,dx

Passo 5

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integral0^3x 2y,dy = l[y^2r]0^3x = 9x^2

Passo 6

Agora integramos em x:
integral0^1 9x^2,dx = 9cdotx^33|0^1 = 3

Resposta

3

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