Mostre que, se considerarmos a aproximação linear na qual a magnetização induzida J_{i} de uma rocha varia linearmente com o campo externo H, então a permeabilidade magnética da rocha pode ser escrita na forma \mu=\mu_{0} \mu_{r} onde \mu_{r}=1+k sendo k a susceptibilidade magnética da rocha.

Passo 1

O enunciado nos diz que, em primeira aproximação linear, a magnetização induzida J_{i} de uma rocha é diretamente proporcional ao campo externo H. Queremos usar as relações constitutivas do magnetismo em meios materiais para mostrar que a permeabilidade magnética da rocha pode ser escrita como
\mu = \mu_{0}\,\mu_{r}
com \mu_{r}=1+k, onde k é a susceptibilidade magnética da rocha.

Passo 2

Em eletromagnetismo, define-se a magnetização M (aqui igual a J_{i}) e a susceptibilidade magnética k pela relação linear
M \;=\; J_{i} \;=\; k\,H.
Isso significa que k mede o quanto o meio se magnetiza em resposta ao campo H.

Passo 3

A relação constitutiva no vácuo estendido a meios materiais diz que o vetor densidade de fluxo magnético B é
B \;=\; \mu_{0}\,\bigl(H + M\bigr).
Substituindo M = k\,H obtemos
B \;=\; \mu_{0}\,\bigl(H + k\,H\bigr) \;=\; \mu_{0}\,(1 + k)\,H.

Passo 4

Por definição de permeabilidade efetiva do meio \mu, escreve-se sempre
B = \mu\,H.
Comparando com o resultado anterior, vemos que
\mu = \mu_{0}\,(1 + k).
Assim identificamos a permeabilidade relativa \mu_{r} como
\mu_{r} = 1 + k.

Resposta

\displaystyle \mu = \mu_{0}\,\mu_{r} com \mu_{r} = 1 + k.

Exercícios relacionados