Se , mostre que é constante no domínio definido por . Explique por que isso não contradiz o Teorema 3.2.3(i).
Passo 1
O enunciado define a função
no domínio . O que se pede é:
Mostrar que é constante em todo esse domínio.
Explicar por que isso não contradiz o Teorema 3.2.3(i), que afirma que se é holomorfa num domínio e é constante então é constante.
Passo 2
Para qualquer temos
Logo lvert f(z)rvert=1 para todo zneq0, isto é, é constante.
Passo 3
O Teorema 3.2.3(i) diz que se f é holomorfa num domínio conexo e lvert frvert é constante então f própria é constante nesse domínio.
Passo 4
Aqui f(z)=z/z não é holomorfa em nenhum ponto de Csetminus0. Em particular falha a condição de Cauchy–Riemann ou, alternativamente, nota-se que f depende de z, o que impede que seja diferenciável complexa. Como o Teorema 3.2.3(i) exige holomorfia, ele não se aplica a f, e portanto não há contradição.
Resposta
lvert f(z)rvert=1 é constante, e isso não contradiz o teorema porque f não é holomorfa em zneq0.