Se f(z)=barz / z, mostre que |f(z)| é constante no domínio definido por z neq 0. Explique por que isso não contradiz o Teorema 3.2.3(i).

Passo 1

O enunciado define a função
f(z)=zz
no domínio zinCmid zneq0. O que se pede é:
  1. Mostrar que lvert f(z)rvert é constante em todo esse domínio.
  2. Explicar por que isso não contradiz o Teorema 3.2.3(i), que afirma que se f é holomorfa num domínio e lvert frvert é constante então f é constante.

Passo 2

Para qualquer zneq0 temos
lvert f(z)rvert =lvertzzrvert =lvertzrvertlvert zrvert =lvert zrvertlvert zrvert =1
Logo lvert f(z)rvert=1 para todo zneq0, isto é, é constante.

Passo 3

O Teorema 3.2.3(i) diz que se f é holomorfa num domínio conexo e lvert frvert é constante então f própria é constante nesse domínio.

Passo 4

Aqui f(z)=z/z não é holomorfa em nenhum ponto de Csetminus0. Em particular falha a condição de Cauchy–Riemann ou, alternativamente, nota-se que f depende de z, o que impede que seja diferenciável complexa. Como o Teorema 3.2.3(i) exige holomorfia, ele não se aplica a f, e portanto não há contradição.

Resposta

lvert f(z)rvert=1 é constante, e isso não contradiz o teorema porque f não é holomorfa em zneq0.

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