Neste problema, você será guiado no início da prova da proposição:
Se f for analítica em um dominio D e f^prime(z)=0, então f é constante em todos os pontos em D.
Prova Iniciamos com a hipótese de que f é analítica em D e, portanto, diferenciável em todos os pontos em D. De (9) desta seção e da hipótese f^prime(z)=0 em D, \operatorname{temos} f^{\prime}(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x}=0$. Complete a prova.

Passo 1

O enunciado afirma que f é analítica em um domínio D (isto é, D é aberto e conexo) e que
f'(z)=0para todo zin D
Escrevendo f=u+iv com u,v funções reais de (x,y), sabemos por definição de derivada complexa e pela hipótese que
f'(z)=partial upartial x+i,partial vpartial x=0,
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partial upartial x=0 e partial vpartial x=0 em D
Para concluir que f é constante, vamos usar também as equações de Cauchy–Riemann.

Passo 2

Como f é analítica, valem as equações de Cauchy–Riemann:
partial upartial x =partial vpartial y, partial upartial y =-,partial vpartial x
Substituindo partial u/partial x=0 e partial v/partial x=0 obtemos
partial vpartial y=0 e partial upartial y=0 em D

Passo 3

Agora vimos que todas as derivadas parciais de u e de v se anulam em D, ou seja,
partial upartial x =partial upartial y =0, partial vpartial x =partial vpartial y =0 em D
Isto significa que u e v são constantes em cada componente conexa de D.

Passo 4

Como D é conexo, não há “saltos” de valor de u ou de v dentro de D. Logo, u e v são constantes em todo D. Portanto
f(z)=u+iv
é constante em D.

Resposta

A função f é constante em todo o domínio D.

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