Neste problema, você será guiado no início da prova da proposição:
Se
for analítica em um dominio
e
, então
é constante em todos os pontos em
.
Prova Iniciamos com a hipótese de que
é analítica em
e, portanto, diferenciável em todos os pontos em
. De (9) desta seção e da hipótese
em
, \operatorname{temos} f^{\prime}(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x}=0$. Complete a prova.
Se
Prova Iniciamos com a hipótese de que
Passo 1
O enunciado afirma que
é analítica em um domínio
(isto é,
é aberto e conexo) e que
Escrevendo
com
funções reais de
, sabemos por definição de derivada complexa e pela hipótese que
logo
Para concluir que
é constante, vamos usar também as equações de Cauchy–Riemann.
Passo 2
Como
é analítica, valem as equações de Cauchy–Riemann:
Substituindo
e
obtemos
Passo 3
Agora vimos que todas as derivadas parciais de
e de
se anulam em
, ou seja,
Isto significa que
e
são constantes em cada componente conexa de
.
Passo 4
Como
é conexo, não há “saltos” de valor de
ou de
dentro de
. Logo,
e
são constantes em todo
. Portanto
é constante em
.
Resposta
A função
é constante em todo o domínio
.