Neste problema, você será guiado no início da prova da proposição:
Se ffor analítica em um domínio
e
, onde c é uma constante, então f é uma constante em todos os pontos em D.
Prova Iniciamos com a hipótese
. Se
, então
é o mesmo que
. As derivadas parciais da última expressão em relação a
e a
são, respectivamente,
Complete a prova usando as equações de Cauchy-Riemann para substituir
e
no último par de equações. A seguir, resolva o resultado para
e
e tire uma conclusão. Use as equações de Cauchy-Riemann novamente e resolva para
.
Se ffor analítica em um domínio
Prova Iniciamos com a hipótese
Passo 1
O enunciado diz que
é analítica em um domínio
e que
é constante. Escrevendo
, temos que
Como
é diferenciável (analítica),
e
satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
Vamos usar tudo isso para mostrar que
, ou seja,
e
são constantes.
Passo 2
Derivando a identidade
parcialmente em relação a
e a
obtemos, respectivamente,
Divideindo por
, fica
Passo 3
Agora substituímos
e
usando Cauchy–Riemann:
Isso transforma o sistema em
Passo 4
Temos um sistema linear homogêneo em
:
O determinante dessa matriz é
. Se
, então
e
. Se
, o determinante é não-nulo, logo a única solução é
Isso mostra que
é constante em
.]
Passo 5
Finalmente, usando de novo as equações de Cauchy–Riemann,
concluímos que
também é constante em
. Portanto
é constante em todo o domínio.