Neste problema, você será guiado no início da prova da proposição:
Se ffor analítica em um domínio D e |f(z)|=c, onde c é uma constante, então f é uma constante em todos os pontos em D.
Prova Iniciamos com a hipótese |f(z)|=c. Se f(z)=u(x, y)+i v(x, y), então |f(z)|^2=c^2 é o mesmo que u^2+v^2=c^2. As derivadas parciais da última expressão em relação a x e a y são, respectivamente,
2 u ux+2 v vx=0 e 2 u uy+2 v vy=0
Complete a prova usando as equações de Cauchy-Riemann para substituir vx e vy no último par de equações. A seguir, resolva o resultado para ux e uy e tire uma conclusão. Use as equações de Cauchy-Riemann novamente e resolva para vx e vy.

Passo 1

O enunciado diz que f é analítica em um domínio D e que lvert f(z)rvert=c é constante. Escrevendo f(z)=u(x,y)+i,v(x,y), temos que
u^2(x,y)+v^2(x,y)=c^2
Como f é diferenciável (analítica), u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
ux = vy e uy = -,vx
Vamos usar tudo isso para mostrar que ux=uy=vx=vy=0, ou seja, u e v são constantes.

Passo 2

Derivando a identidade u^2+v^2=c^2 parcialmente em relação a x e a y obtemos, respectivamente,
2,u,ux + 2,v,vx = 0 e 2,u,uy + 2,v,vy = 0
Divideindo por 2, fica
u,ux + v,vx = 0 e u,uy + v,vy = 0

Passo 3

Agora substituímos vx e vy usando Cauchy–Riemann:
vx = -,uy, vy = ux
Isso transforma o sistema em
u,ux + v,(-uy) = 0,[6pt] u,uy + v,(ux) = 0, Longrightarrow u,ux - v,uy = 0,[4pt] v,ux + u,uy = 0 ]

Passo 4

Temos um sistema linear homogêneo em (ux,uy):
u & -v v & ;u ux[3pt] uy = 0[3pt] 0
O determinante dessa matriz é u^2+v^2=c^2. Se c=0, então u=v=0 e fequiv0. Se cneq0, o determinante é não-nulo, logo a única solução é
ux = 0 e uy = 0
Isso mostra que u é constante em D.]

Passo 5

Finalmente, usando de novo as equações de Cauchy–Riemann,
vx = -,uy = 0 e vy = ux = 0,
concluímos que v também é constante em D. Portanto
f(z)=u+i,v
é constante em todo o domínio.

Resposta

f é constante em D.

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