Sejam alpha e beta curvas parametrizadas e f uma função real, contínuas no intervalo aberto (a, b). Prove que:
As funções alpha+beta, alpha beta e f. alpha são também contínuas em (a, b).

Passo 1

O enunciado diz que
alphacolon(a,b)toR^n, betacolon(a,b)toR^n e fcolon(a,b)toR são contínuas em todo t0in(a,b). Queremos mostrar que as funções
alpha+beta, alphacdotbeta (produto escalar em R^n) e f,alpha (multiplicação escalar de f por alpha) também são contínuas em t0. Para isso usaremos a definição epsilon-delta de continuidade e algumas desigualdades elementares (desigualdade triangular e estimativas de produto).

Passo 2

Provar que alpha+beta é contínua em t0.
Dado varepsilon>0, como alpha e beta são contínuas em t0, existem de<a1,de<a2>0 tais que, se lvert t-t0rvert<de<a1 então
|alpha(t)-alpha(t0)|<varepsilon2,
e se lvert t-t0rvert<de<a2 então
|beta(t)-beta(t0)|<varepsilon2
Tomando de<a=minde<a1,de<a2, obtemos, para lvert t-t0rvert<de<a,
|(alpha+beta)(t)-(alpha+beta)(t0)| =|alpha(t)-alpha(t0)+beta(t)-beta(t0)| <= |alpha(t)-alpha(t0)|+|beta(t)-beta(t0)| <varepsilon2+varepsilon2 =varepsilon
Logo alpha+beta é contínua em t0.

Passo 3

Provar que alphacdotbeta é contínua em t0.
Queremos mostrar que
l|alpha(t)cdotbeta(t)-alpha(t0)cdotbeta(t0)r|to0 quando tto t0. Note que
alpha(t)cdotbeta(t)-alpha(t0)cdotbeta(t0) =alpha(t)cdotl[beta(t)-beta(t0)r] +l[alpha(t)-alpha(t0)r]cdotbeta(t0)
Pelo critério de continuidade de alpha e beta, existe de<a0>0 tal que, se lvert t-t0rvert<de<a0, então
|alpha(t)-alpha(t0)|<1 e |beta(t)-beta(t0)|<varepsilon/(2(|alpha(t0)|+1)).
A partir de |alpha(t)-alpha(t0)|<1 segue
|alpha(t)|<=|alpha(t0)|+|alpha(t)-alpha(t0)|<|alpha(t0)|+1.
Agora, para lvert t-t0rvert<de<a0,
l|alpha(t)cdot(beta(t)-beta(t0))r| <=|alpha(t)|;|beta(t)-beta(t0)| <(|alpha(t0)|+1),varepsilon2(|alpha(t0)|+1) =varepsilon2,
e
l|(alpha(t)-alpha(t0))cdotbeta(t0)r| <=|alpha(t)-alpha(t0)|;|beta(t0)| <1cdot|beta(t0)|
Para controlar este segundo termo, basta também escolher de<a1>0 tal que, se lvert t-t0rvert<de<a1, então
|alpha(t)-alpha(t0)|<varepsilon/(2|beta(t0)|). Finalmente, tomamos
de<a=minde<a0,de<a1 e obtemos
l|alpha(t)cdotbeta(t)-alpha(t0)cdotbeta(t0)r|<varepsilon.
Assim alphacdotbeta é contínua em t0.

Passo 4

Provar que f,alpha é contínua em t0.
Queremos
|f(t),alpha(t)-f(t0),alpha(t0)|to0 quando tto t0. Escreva
f(t),alpha(t)-f(t0),alpha(t0) =f(t)l[alpha(t)-alpha(t0)r] +l[f(t)-f(t0)r]alpha(t0)
Como f e alpha são contínuas em t0, existe de<a2>0 tal que, se lvert t-t0rvert<de<a2, então
lvert f(t)-f(t0)rvert<1 e |alpha(t)-alpha(t0)|<varepsilon/(2(lvert f(t0)rvert+1)).
Logo lvert f(t)rvert<=lvert f(t0)rvert+1. Para lvert t-t0rvert<de<a2:
|f(t),(alpha(t)-alpha(t0))| <=lvert f(t)rvert,|alpha(t)-alpha(t0)| <(lvert f(t0)rvert+1),varepsilon2(lvert f(t0)rvert+1) =varepsilon2,
e
|(f(t)-f(t0)),alpha(t0)| =lvert f(t)-f(t0)rvert,|alpha(t0)| <1cdot|alpha(t0)| <=varepsilon2
se tomarmos de<a3>0 também garantindo
lvert f(t)-f(t0)rvert<varepsilon/(2|alpha(t0)|).
Com de<a=minde<a2,de<a3 obtemos o resultado desejado. Portanto f,alpha é contínua em t0.

Resposta

As três funções alpha+beta, alphacdotbeta e f,alpha são contínuas em todo (a,b).

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