Sejam e curvas parametrizadas e uma função real, contínuas no intervalo aberto . Prove que:
As funções e . são também contínuas em .
Passo 1
O enunciado diz que , e são contínuas em todo . Queremos mostrar que as funções , (produto escalar em ) e (multiplicação escalar de por ) também são contínuas em . Para isso usaremos a definição epsilon-delta de continuidade e algumas desigualdades elementares (desigualdade triangular e estimativas de produto).
Passo 2
Provar que é contínua em .
Dado , como e são contínuas em , existem tais que, se então
e se então
Tomando , obtemos, para ,
Logo é contínua em .
Passo 3
Provar que é contínua em .
Queremos mostrar que quando tto t0. Note que
Pelo critério de continuidade de alpha e beta, existe de<a0>0 tal que, se lvert t-t0rvert<de<a0, então |alpha(t)-alpha(t0)|<1 e |beta(t)-beta(t0)|<varepsilon/(2(|alpha(t0)|+1)).
A partir de |alpha(t)-alpha(t0)|<1 segue |alpha(t)|<=|alpha(t0)|+|alpha(t)-alpha(t0)|<|alpha(t0)|+1.
Agora, para lvert t-t0rvert<de<a0,
Para controlar este segundo termo, basta também escolher de<a1>0 tal que, se lvert t-t0rvert<de<a1, então |alpha(t)-alpha(t0)|<varepsilon/(2|beta(t0)|). Finalmente, tomamos de<a=minde<a0,de<a1 e obtemos l|alpha(t)cdotbeta(t)-alpha(t0)cdotbeta(t0)r|<varepsilon.
Assim alphacdotbeta é contínua em t0.
Passo 4
Provar que f,alpha é contínua em t0.
Queremos |f(t),alpha(t)-f(t0),alpha(t0)|to0 quando tto t0. Escreva
Como f e alpha são contínuas em t0, existe de<a2>0 tal que, se lvert t-t0rvert<de<a2, então lvert f(t)-f(t0)rvert<1 e |alpha(t)-alpha(t0)|<varepsilon/(2(lvert f(t0)rvert+1)).
Logo lvert f(t)rvert<=lvert f(t0)rvert+1. Para lvert t-t0rvert<de<a2:
se tomarmos de<a3>0 também garantindo lvert f(t)-f(t0)rvert<varepsilon/(2|alpha(t0)|).
Com de<a=minde<a2,de<a3 obtemos o resultado desejado. Portanto f,alpha é contínua em t0.
Resposta
As três funções alpha+beta, alphacdotbeta e f,alpha são contínuas em todo (a,b).