Mostre que integral1^infty sen^2 xx^3 d x converge

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral imprópria
integral1^inftysen^2xx^3,dx
converge. O conteúdo aqui é teste de convergência de integral imprópria em intervalo infinito, e vamos usar o critério da comparação com uma integral p-adrada.

Passo 2

Observamos que, para todo x,
0 <= sen^2x <= 1
Dividindo por x^3>0, isso dá
0 <= sen^2xx^3 <= 1x^3

Passo 3

Calculamos a integral de comparação:
integral1^infty1x^3,dx
Como é um integral p-adrada com p=3>1, ela converge. Mais precisamente,
integral1^infty1x^3,dx = [-12x^2]1^infty = 0 - l(-tfrac12r) = 12

Passo 4

Pelo teste da comparação, como
0 <= sen^2xx^3 <= 1x^3
e integral1^infty1/x^3,dx converge, concluímos que
integral1^inftysen^2xx^3,dx
também converge.

Resposta

A integral integral1^inftysen^2xx^3,dx converge por comparação com a p-integral integral1^inftyx^-3,dx, que converge para p=3>1.

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