Verifique se integral0^1 1raiz5 x^17+x^2 d x converge ou diverge

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
integral0^11raiz5x^17+x^2,dx
converge ou diverge. O único possível problema de convergência está em x=0, pois para x>0 a função é contínua em (0,1].

Passo 2

Para estudar o comportamento em xto0^+, note que, quando 0<x<1, temos x^17<x^2. Logo,
5x^17+x^2 ;<;5x^2 + x^2 ;=;6x^2
Isso implica
raiz5x^17+x^2;<raiz6,x Longrightarrow 1raiz5x^17+x^2;>;1raiz6,x

Passo 3

Como integral0^varepsilon1x,dx = +infty, pelo teste de comparação com
g(x)=1raiz6,x, concluímos que
integral0^varepsilon1raiz5x^17+x^2,dx
é divergente para qualquer varepsilon>0 pequeno.

Passo 4

Em x=1 a função tfrac1raiz5x^17+x^2 é perfeitamente contínua e finita, não criando mais problemas de convergência.

Resposta

A integral diverge.

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