Verifique se integral1^infty 1raiz3 x^2+6 x^3 d x converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da integral imprópria
integral1^infty 1raiz3x^2+6x^3,dx
O conteúdo principal é critério de comparação de integrais impróprias no infinito, usando p-integral.

Passo 2

Vamos simplificar o integrando para ver seu comportamento quando xtoinfty. Note que
3x^2+6x^3=3x^2(1+2x),
então
raiz3x^2+6x^3 =raiz3x^2;raiz1+2x =raiz3,x,raiz1+2x
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1raiz3x^2+6x^3 =1raiz3,x,raiz1+2x
Para x grande, raiz1+2xsimraiz2x, de modo que
1raiz3,x,raiz1+2x sim1raiz3,x,raiz2x =1raiz6,x^3/2

Passo 3

Compare com a p-integral
integral1^infty1x^3/2,dx
Como o expoente 3/2>1, essa integral converge. Pelo critério da comparação assintótica (ou critério do limite), nossa função se comporta como 1/(raiz6,x^3/2) no infinito e portanto a integral original também converge.

Resposta

A integral converge.

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