(a) Mostre que um corpo humano de área 1.80 \mathrm{~m}^{2}, emissividade \epsilon =1,0 \mathrm{e} temperatura igual a 34^{\circ} \mathrm{C} emite radiação na taxa de 910 W . (b) Por que, então, as pessoas não brilham no escuro?

Passo 1

O enunciado dá um corpo humano que pode ser modelado como um corpo negro (ou quase negro) com emissividade \epsilon=1,0, área A=1,80\\ \mathrm{m^2} e temperatura superficial de 34^\circ\mathrm{C}. Pede em (a) a taxa de energia irradiada (potência) e em (b) por que não vemos essa radiação no escuro. Para (a) vamos usar a lei de Stefan–Boltzmann; para (b) falaremos da distribuição espectral (Lei de Wien).

Passo 2

Primeiro convertemos a temperatura para kelvin:
T = 34^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 307{,}15\\ \mathrm{K}.
A lei de Stefan–Boltzmann diz que a potência irradiada por um corpo de área A e temperatura T é
P = \epsilon \,\sigma\,A\,T^4,
onde \sigma = 5,67\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.

Passo 3

Calculamos o quarto poder da temperatura:
T^4 = (307{,}15)^4 \approx 8,905\times10^{9}\\ \mathrm{K^4}.
Substituindo na fórmula:
P = 1{,}0 \times 5,67\times10^{-8}\times 1{,}80 \times 8,905\times10^{9}\\ \mathrm{W} \approx 9,10\times10^{2}\\ \mathrm{W}.
Logo, a taxa de radiação é de aproximadamente 910\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Apesar de 910\\ \mathrm{W} ser grande, a maior parte dessa radiação está na faixa do infravermelho. Pela Lei de Wien, o comprimento de onda de pico é
\lambda_{\max}=\frac{b}{T}\approx\frac{2,898\times10^{-3}\\ \mathrm{m\;K}}{307{,}15\\ \mathrm{K}} \approx9,44\times10^{-6}\\ \mathrm{m},
ou seja, 9{,}4\\ \mu\mathrm{m}, bem fora da faixa visível ( \sim0{,}4 a 0{,}7\\ \mu\mathrm{m}). Por isso não “brilhamos” no escuro: nossos olhos não detectam essa onda longa de infravermelho.

Resposta

(a) P\approx9,10\times10^{2}\\ \mathrm{W}
(b) Porque o pico da radiação está em \sim9{,}4\\ \mu\mathrm{m}, na faixa do infravermelho invisível ao olho humano.

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