Mostre que:
\operatorname{sen} z=\operatorname{sen} w se e só se z-w=2 k \pi ou z+w=(2 k+1) \pi, k \in Z

Passo 1

O que o enunciado dá e pede: foi dado que \operatorname{sen} z=\operatorname{sen} w (onde z e w são números complexos) e devemos mostrar que isso ocorre se, e somente se, uma das duas condições se verifica:
z-w=2k\pi \qquad\text{ou}\qquad z+w=(2k+1)\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Lista das informações relevantes:
  • A igualdade \operatorname{sen} z=\operatorname{sen} w é a hipótese.
  • Precisamos provar a equivalência lógica: \operatorname{sen} z=\operatorname{sen} w \Longleftrightarrow (uma das duas condições acima).
    A partir daqui vou desenvolver passo a passo a demonstração completa e didática.

Passo 2

Lembrar e justificar fórmulas úteis (válidas também para argumentos complexos). A função seno pode ser escrita em termos da exponencial complexa pela identidade
\sin u=\frac{e^{iu}-e^{-iu}}{2i},
para qualquer u\in\mathbb{C}. Essa fórmula é a definição usual do seno no plano complexo e é compatível com as identidades trigonométricas clássicas. Uma identidade algébrica útil (também válida no contexto complexo) é
\sin A-\sin B=2\cos\!\bigg(\frac{A+B}{2}\bigg)\sin\!\bigg(\frac{A-B}{2}\bigg).
Posso obter essa identidade aplicando a fórmula exponencial ou usando as identidades trigonométricas conhecidas; vou usar a versão exponencial quando necessário para justificar passos sobre zeros.

Passo 3

Aplicar a identidade à hipótese \sin z=\sin w. Subtraindo \sin w dos dois lados e usando a identidade do passo anterior,
0=\sin z-\sin w =2\cos\!\bigg(\frac{z+w}{2}\bigg)\sin\!\bigg(\frac{z-w}{2}\bigg).
Agora temos um produto que é zero. Na álgebra dos complexos, se um produto de dois números é zero então pelo menos um dos fatores é zero. Assim, ou
\sin\!\bigg(\frac{z-w}{2}\bigg)=0 \qquad\text{ou}\qquad \cos\!\bigg(\frac{z+w}{2}\bigg)=0.

Passo 4

Resolver a primeira possibilidade \sin\!\big(\tfrac{z-w}{2}\big)=0. Usando a expressão exponencial do seno:
\sin u=0 \iff \frac{e^{iu}-e^{-iu}}{2i}=0 \iff e^{2iu}=1.
Para a exponencial complexa vale que e^{\zeta}=1 se, e somente se, \zeta=2\pi i k com k\in\mathbb{Z}. Aplicando \zeta=2iu obtemos 2iu=2\pi i k, que dá u=\pi k. Portanto,
\sin u=0 \iff u=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Tomando u=\dfrac{z-w}{2} segue que
\frac{z-w}{2}=k\pi \iff z-w=2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Logo a primeira família de soluções é z-w=2k\pi.

Passo 5

Resolver a segunda possibilidade \cos\!\big(\tfrac{z+w}{2}\big)=0. Usando a relação entre cosseno e exponencial,
\cos v=\frac{e^{iv}+e^{-iv}}{2}=0 \iff e^{2iv}=-1.
Como e^{\zeta}=-1 acontece exatamente quando \zeta=(2k+1)\pi i, temos 2iv=(2k+1)\pi i, ou seja v=\dfrac{(2k+1)\pi}{2}. Assim,
\cos v=0 \iff v=\frac{(2k+1)\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.
Tomando v=\dfrac{z+w}{2} obtemos
\frac{z+w}{2}=\frac{(2k+1)\pi}{2} \iff z+w=(2k+1)\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Portanto a segunda família de soluções é z+w=(2k+1)\pi.

Passo 6

Mostro agora a implicação inversa (converso): que as duas condições realmente implicam \sin z=\sin w.
  • Se z-w=2k\pi, pela periodicidade do seno (que segue da expressão exponencial: \sin(u+2\pi)=\sin u) temos \sin z=\sin(w+2k\pi)=\sin w.
  • Se z+w=(2k+1)\pi, então w=(2k+1)\pi - z. Usando que \sin(\pi - u)=\sin u e a periodicidade de período 2\pi,
\sin w=\sin\big((2k+1)\pi - z\big)=\sin\big(\pi - z +2k\pi\big)=\sin(\pi - z)=\sin z.
A identidade \sin(\pi - z)=\sin z pode ser verificada com a fórmula exponencial ou com as identidades trigonométricas; portanto essa condição também garante \sin z=\sin w.

Passo 7

Resumo final lógico: a igualdade \sin z=\sin w leva a um dos fatores do produto do passo 3 ser zero, o que produz as duas famílias de soluções mostradas nos passos 4 e 5. E cada uma dessas famílias implica de volta \sin z=\sin w (passo 6). Assim obtemos a equivalência desejada.

Resposta

z-w=2k\pi
z+w=(2k+1)\pi,\quad k\in\mathbb{Z}

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