Mostre que:
se e só se
ou
Passo 1
O que o enunciado dá e pede: foi dado que
(onde
e
são números complexos) e devemos mostrar que isso ocorre se, e somente se, uma das duas condições se verifica:
Lista das informações relevantes:
- A igualdade
é a hipótese. - Precisamos provar a equivalência lógica:
(uma das duas condições acima).
A partir daqui vou desenvolver passo a passo a demonstração completa e didática.
Passo 2
Lembrar e justificar fórmulas úteis (válidas também para argumentos complexos). A função seno pode ser escrita em termos da exponencial complexa pela identidade
para qualquer
. Essa fórmula é a definição usual do seno no plano complexo e é compatível com as identidades trigonométricas clássicas. Uma identidade algébrica útil (também válida no contexto complexo) é
Posso obter essa identidade aplicando a fórmula exponencial ou usando as identidades trigonométricas conhecidas; vou usar a versão exponencial quando necessário para justificar passos sobre zeros.
Passo 3
Aplicar a identidade à hipótese
. Subtraindo
dos dois lados e usando a identidade do passo anterior,
Agora temos um produto que é zero. Na álgebra dos complexos, se um produto de dois números é zero então pelo menos um dos fatores é zero. Assim, ou
Passo 4
Resolver a primeira possibilidade
. Usando a expressão exponencial do seno:
Para a exponencial complexa vale que
se, e somente se,
com
. Aplicando
obtemos
, que dá
. Portanto,
Tomando
segue que
Logo a primeira família de soluções é
.
Passo 5
Resolver a segunda possibilidade
. Usando a relação entre cosseno e exponencial,
Como
acontece exatamente quando
, temos
, ou seja
. Assim,
Tomando
obtemos
Portanto a segunda família de soluções é
.
Passo 6
Mostro agora a implicação inversa (converso): que as duas condições realmente implicam
.
- Se
, pela periodicidade do seno (que segue da expressão exponencial: ) temos . - Se
, então . Usando que e a periodicidade de período ,
A identidade
pode ser verificada com a fórmula exponencial ou com as identidades trigonométricas; portanto essa condição também garante
.
Passo 7
Resumo final lógico: a igualdade
leva a um dos fatores do produto do passo 3 ser zero, o que produz as duas famílias de soluções mostradas nos passos 4 e 5. E cada uma dessas famílias implica de volta
(passo 6). Assim obtemos a equivalência desejada.