Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
As informações dadas são apenas os símbolos
e
(valores reais — a identidade também vale para complexos, mas aqui não é preciso assumir nada além de que as funções estão bem definidas). Não há outros dados numéricos.
Passo 2
Vamos usar a fórmula de Euler, que liga exponencial complexa com seno e cosseno. Primeiro, lembro as séries de Taylor (expansões em potências) para
,
e
:
Se substituirmos
em
e agrupamos termos pares e ímpares (lembrando que
), obtemos a identidade conhecida:
Isto é a fórmula de Euler. Aqui,
é a unidade imaginária.
Passo 3
A partir de
podemos inverter para escrever
e
em termos das exponenciais (às vezes útil):
Estas fórmulas decorrem de somar e subtrair
e
.
Passo 4
Uma propriedade básica da exponencial é a aditividade do expoente:
Agora observe que a parte imaginária (coeficiente de
) de
é exatamente
, por Euler:
Passo 5
Use a forma de Euler para
e
:
Multiplicando as duas expressões:
Passo 6
Faço a multiplicação no lado direito e separo a parte real da imaginária. Expande-se:
Aqui o termo multiplicado por
é a parte imaginária do produto. Logo,
Passo 7
Reunindo os passos: como
, a parte imaginária de
é igual à parte imaginária de
. Portanto