Mostre que:
\operatorname{sen}(z+w)=\operatorname{sen} z \cos w+\operatorname{sen} w \cos z

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
\operatorname{sen}(z+w)=\operatorname{sen} z \cos w+\operatorname{sen} w \cos z.
As informações dadas são apenas os símbolos z e w (valores reais — a identidade também vale para complexos, mas aqui não é preciso assumir nada além de que as funções estão bem definidas). Não há outros dados numéricos.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de Euler, que liga exponencial complexa com seno e cosseno. Primeiro, lembro as séries de Taylor (expansões em potências) para e^{t}, \cos t e \operatorname{sen} t:
e^{t}=1+t+\frac{t^{2}}{2!}+\frac{t^{3}}{3!}+\frac{t^{4}}{4!}+\cdots,
\cos t=1-\frac{t^{2}}{2!}+\frac{t^{4}}{4!}-\cdots,
\operatorname{sen} t=t-\frac{t^{3}}{3!}+\frac{t^{5}}{5!}-\cdots.
Se substituirmos t=ix em e^{t} e agrupamos termos pares e ímpares (lembrando que i^{2}=-1), obtemos a identidade conhecida:
e^{ix}=\cos x + i\,\operatorname{sen} x.
Isto é a fórmula de Euler. Aqui, i é a unidade imaginária.

Passo 3

A partir de e^{ix}=\cos x + i\,\operatorname{sen} x podemos inverter para escrever \cos e \operatorname{sen} em termos das exponenciais (às vezes útil):
\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}, \qquad \operatorname{sen} x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.
Estas fórmulas decorrem de somar e subtrair e^{ix} e e^{-ix}.

Passo 4

Uma propriedade básica da exponencial é a aditividade do expoente:
e^{i(z+w)}=e^{iz}e^{iw}.
Agora observe que a parte imaginária (coeficiente de i) de e^{i(z+w)} é exatamente \operatorname{sen}(z+w), por Euler:
\operatorname{sen}(z+w)=\operatorname{Im}\bigl(e^{i(z+w)}\bigr).

Passo 5

Use a forma de Euler para e^{iz} e e^{iw}:
e^{iz}=\cos z + i\,\operatorname{sen} z, \qquad e^{iw}=\cos w + i\,\operatorname{sen} w.
Multiplicando as duas expressões:
e^{iz}e^{iw}=(\cos z + i\,\operatorname{sen} z)(\cos w + i\,\operatorname{sen} w).

Passo 6

Faço a multiplicação no lado direito e separo a parte real da imaginária. Expande-se:
(\cos z + i\,\operatorname{sen} z)(\cos w + i\,\operatorname{sen} w) =\cos z\cos w + i(\operatorname{sen} z\cos w+\operatorname{sen} w\cos z) - \operatorname{sen} z\,\operatorname{sen} w.
Aqui o termo multiplicado por i é a parte imaginária do produto. Logo,
\operatorname{Im}\bigl(e^{iz}e^{iw}\bigr)=\operatorname{sen} z\cos w+\operatorname{sen} w\cos z.

Passo 7

Reunindo os passos: como e^{i(z+w)}=e^{iz}e^{iw}, a parte imaginária de e^{i(z+w)} é igual à parte imaginária de e^{iz}e^{iw}. Portanto
\operatorname{sen}(z+w)=\operatorname{Im}\bigl(e^{i(z+w)}\bigr) =\operatorname{Im}\bigl(e^{iz}e^{iw}\bigr) =\operatorname{sen} z\cos w+\operatorname{sen} w\cos z.

Resposta

\operatorname{sen}(z+w)=\operatorname{sen} z \cos w+\operatorname{sen} w \cos z

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