Mostre que: Cov(a X+b Y, Z)=a Cov(X, Z)+b Cov(Y, Z).

Passo 1

Oi! Vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que a covariância de uma combinação linear de duas variáveis com uma terceira é igual à combinação linear das covariâncias individuais. Estamos trabalhando com estatística, mais especificamente com o conceito de covariância. Para isso, vamos precisar entender a definição de covariância e como aplicar propriedades de expectativa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de covariância. Para duas variáveis aleatórias $ A $ e $ B $, a covariância é dada por:
A
Essa fórmula nos diz como duas variáveis variam juntas em relação às suas médias.

Passo 3

Agora, queremos calcular $ \operatorname{Cov}(aX + bY, Z) $. Vamos aplicar a definição:
Cov(aX + bY, Z)

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da expectativa. Sabemos que a expectativa é linear, ou seja:
E[aX + bY] = a,E[X] + b,E[Y]
Substituindo isso na equação:
Cov(aX + bY, Z) = E[(aX + bY - a,E[X] - b,E[Y])(Z - E[Z])]

Passo 5

Agora, podemos fatorar os coeficientes $ a $ e $ b $:
a

Passo 6

Distribuímos a multiplicação dentro da expectativa:
Cov(aX + bY, Z) = a,E[(X - E[X])(Z - E[Z])] + b,E[(Y - E[Y])(Z - E[Z])]

Passo 7

Reconhecemos que cada uma dessas expectativas é justamente a covariância entre as variáveis correspondentes:
E[(X - E[X])(Z - E[Z])] = Cov(X, Z)
E[(Y - E[Y])(Z - E[Z])] = Cov(Y, Z)
Substituindo de volta:
Cov(aX + bY, Z) = a,Cov(X, Z) + b,Cov(Y, Z)

Resposta

Mostramos que:
Cov(a X + b Y, Z) = a Cov(X, Z) + b Cov(Y, Z)

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