Mostre que:
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Passo 1
Oi! Vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que a covariância de uma combinação linear de duas variáveis com uma terceira é igual à combinação linear das covariâncias individuais. Estamos trabalhando com estatística, mais especificamente com o conceito de covariância. Para isso, vamos precisar entender a definição de covariância e como aplicar propriedades de expectativa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de covariância. Para duas variáveis aleatórias $ A $ e $ B $, a covariância é dada por:
Essa fórmula nos diz como duas variáveis variam juntas em relação às suas médias.
Passo 3
Agora, queremos calcular $ \operatorname{Cov}(aX + bY, Z) $. Vamos aplicar a definição:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da expectativa. Sabemos que a expectativa é linear, ou seja:
Substituindo isso na equação:
Passo 5
Agora, podemos fatorar os coeficientes $ a $ e $ b $:
Passo 6
Distribuímos a multiplicação dentro da expectativa:
Passo 7
Reconhecemos que cada uma dessas expectativas é justamente a covariância entre as variáveis correspondentes:
Substituindo de volta:
Resposta
Mostramos que: