Sejam
e
variáveis aleatórias com função de probabilidade conjunta
, para
e
, onde c é uma constante real.
Determine as funções de probabilidade marginais de
e de
.
Determine as funções de probabilidade marginais de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, estamos lidando com probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $. Nosso objetivo é encontrar as funções de probabilidade marginais de $ X $ e de $ Y $. Para isso, vamos precisar entender como somar as probabilidades conjuntas para obter as marginais.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir o valor da constante $ c $ que garante que a soma de todas as probabilidades seja igual a 1. A função de probabilidade conjunta é dada por:
para $ x = 1, 2, 3 $ e $ y = 1, 2, 3 $.
Passo 3
Vamos somar $ f(x, y) $ para todos os valores de $ x $ e $ y $:
Primeiro, calculamos a soma interna em $ y $:
Agora, somamos em $ x $:
Então, temos:
Passo 4
Agora que encontramos $ c = \frac{1}{108} $, vamos calcular a função marginal de $ X $, que é:
Já calculamos a soma interna anteriormente e vimos que:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular a função marginal de $ Y $:
Vamos somar em $ x $:
Assim:
Resposta
As funções de probabilidade marginais são: