Sejam X e Y variáveis aleatórias com função de probabilidade conjunta f(x, y)=c(4 x+2 y), para x=1,2,3 e y=1,2,3, onde c é uma constante real.
Determine as funções de probabilidade marginais de X e de Y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, estamos lidando com probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $. Nosso objetivo é encontrar as funções de probabilidade marginais de $ X $ e de $ Y $. Para isso, vamos precisar entender como somar as probabilidades conjuntas para obter as marginais.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir o valor da constante $ c $ que garante que a soma de todas as probabilidades seja igual a 1. A função de probabilidade conjunta é dada por:
c
para $ x = 1, 2, 3 $ e $ y = 1, 2, 3 $.

Passo 3

Vamos somar $ f(x, y) $ para todos os valores de $ x $ e $ y $:
f(x, y)
Primeiro, calculamos a soma interna em $ y $:
x
Agora, somamos em $ x $:
y
Então, temos:
sumx=1^3 sumy=1^3 c(4x + 2y) = 1

Passo 4

Agora que encontramos $ c = \frac{1}{108} $, vamos calcular a função marginal de $ X $, que é:
c = 1108
Já calculamos a soma interna anteriormente e vimos que:
X
Portanto:
fX(x) = sumy=1^3 f(x, y) = sumy=1^3 1108(4x + 2y)

Passo 5

Agora, vamos calcular a função marginal de $ Y $:
Y
Vamos somar em $ x $:
fY(y) = sumx=1^3 f(x, y) = sumx=1^3 1108(4x + 2y)
Assim:
x

Resposta

As funções de probabilidade marginais são:
fX(x) = x + 19, para x = 1, 2, 3
fY(y) = 4 + y18, para y = 1, 2, 3

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