Suponha que o par aleatório
possui distribuição normal bivariada, sendo
,
е
.
Determine
.
Determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um par aleatório
que segue uma distribuição normal bivariada. Isso significa que
e
são variáveis aleatórias que têm uma relação específica entre si. Aqui, a gente sabe que a média de
é
, a média de
é
, as variâncias são
e
, e a correlação entre
e
é
. Nosso objetivo é encontrar o valor esperado de
, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o valor esperado do produto de duas variáveis aleatórias
e
pode ser calculado usando a seguinte fórmula:
Aqui,
e
são os valores esperados de
e
, respectivamente, e
é a covariância entre
e
.
Passo 3
Sabemos que a covariância
pode ser relacionada com a correlação
através da fórmula:
Onde
e
são os desvios padrão de
e
. Como temos as variâncias, podemos encontrar os desvios padrão tirando a raiz quadrada:
Passo 4
Agora, vamos calcular a covariância usando a correlação fornecida:
Passo 5
Comparamos isso na fórmula do valor esperado do produto:
Substituindo os valores: