Suponha que o par aleatório (X, Y) possui distribuição normal bivariada, sendo muX=5, muY=10, sigmaX^2=9, sigmaY^2=4 е rho=-0,5.
Determine E(X Y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um par aleatório (X, Y) que segue uma distribuição normal bivariada. Isso significa que X e Y são variáveis aleatórias que têm uma relação específica entre si. Aqui, a gente sabe que a média de X é muX = 5, a média de Y é muY = 10, as variâncias são sigmaX^2 = 9 e sigmaY^2 = 4, e a correlação entre X e Y é rho = -0,5. Nosso objetivo é encontrar o valor esperado de XY, ou seja, E(XY).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor esperado do produto de duas variáveis aleatórias X e Y pode ser calculado usando a seguinte fórmula:
E(XY) = E(X) cdot E(Y) + Cov(X,Y)
Aqui, E(X) e E(Y) são os valores esperados de X e Y, respectivamente, e Cov(X,Y) é a covariância entre X e Y.

Passo 3

Sabemos que a covariância Cov(X,Y) pode ser relacionada com a correlação rho através da fórmula:
Cov(X,Y) = rho cdot sigmaX cdot sigmaY
Onde sigmaX e sigmaY são os desvios padrão de X e Y. Como temos as variâncias, podemos encontrar os desvios padrão tirando a raiz quadrada:
sigmaX = raizsigmaX^2 = raiz9 = 3
sigmaY = raizsigmaY^2 = raiz4 = 2

Passo 4

Agora, vamos calcular a covariância usando a correlação fornecida:
Cov(X,Y) = rho cdot sigmaX cdot sigmaY = (-0,5) cdot 3 cdot 2 = -3

Passo 5

Comparamos isso na fórmula do valor esperado do produto:
E(XY) = E(X) cdot E(Y) + Cov(X,Y)
Substituindo os valores:
E(XY) = 5 cdot 10 + (-3) = 50 - 3 = 47

Resposta

E(X Y) = 47

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