Sejam
e
variáveis aleatórias com função densidade conjunta dada por:
Calcule
.
Passo 1
Então, temos um exercício de probabilidade onde precisamos calcular $ P(X < \frac{1}{2}) $. A matéria envolvida aqui é o cálculo de probabilidades usando funções densidade conjuntas de variáveis aleatórias. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função densidade conjunta $ f(x, y) $ sobre a região onde $ X < \frac{1}{2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ P(X < \frac{1}{2}) $. Isso representa a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja menor que $ \frac{1}{2} $. Para encontrar essa probabilidade, vamos integrar a função densidade conjunta $ f(x, y) $ para todos os valores de $ x $ menores que $ \frac{1}{2} $ e para todos os valores possíveis de $ y $.
Passo 3
A função densidade conjunta dada é:
Para calcular $ P(X < \frac{1}{2}) $, configuramos a integral dupla da função $ f(x, y) $ onde $ x $ varia de 0 a $ \frac{1}{2} $ e $ y $ varia de 0 a 2:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ y $:
Calculando cada parte:
Somando as duas partes:
Passo 5
Agora, integramos esse resultado em relação a $ x $ de 0 a $ \frac{1}{2} $:
Calculando cada parte:
Somando as duas partes:
Resposta
A probabilidade $ P(X < \frac{1}{2}) $ é igual a $ \frac{1}{6} $.