Sejam X e Y variáveis aleatórias com função densidade conjunta dada por:
f(x, y)=cl x^2+x y3, & 0 <= x <= 1,0 <= y <= 2 0, & cc
Calcule P(X<1 / 2).

Passo 1

Então, temos um exercício de probabilidade onde precisamos calcular $ P(X < \frac{1}{2}) $. A matéria envolvida aqui é o cálculo de probabilidades usando funções densidade conjuntas de variáveis aleatórias. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função densidade conjunta $ f(x, y) $ sobre a região onde $ X < \frac{1}{2} $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ P(X < \frac{1}{2}) $. Isso representa a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja menor que $ \frac{1}{2} $. Para encontrar essa probabilidade, vamos integrar a função densidade conjunta $ f(x, y) $ para todos os valores de $ x $ menores que $ \frac{1}{2} $ e para todos os valores possíveis de $ y $.

Passo 3

A função densidade conjunta dada é:
f(x, y) = x^2 + x y3, & 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 2 0, & caso contrário á
Para calcular $ P(X < \frac{1}{2}) $, configuramos a integral dupla da função $ f(x, y) $ onde $ x $ varia de 0 a $ \frac{1}{2} $ e $ y $ varia de 0 a 2:
P(X < 12)

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ y $:
y
Calculando cada parte:
integral0^2 (x^2 + x y3) , dy = integral0^2 x^2 , dy + integral0^2 x y3 , dy
integral0^2 x^2 , dy = x^2 cdot y gr|0^2 = 2x^2
Somando as duas partes:
integral0^2 x y3 , dy = x3 cdot y^22 gr|0^2 = x3 cdot 2 = 2x3

Passo 5

Agora, integramos esse resultado em relação a $ x $ de 0 a $ \frac{1}{2} $:
x
Calculando cada parte:
12
integral0^12 (2x^2 + 2x3) , dx = 2 integral0^12 x^2 , dx + 23 integral0^12 x , dx
Somando as duas partes:
2 integral0^12 x^2 , dx = 2 cdot ( x^33 gr|0^12 ) = 2 cdot ( (12)^33 ) = 2 cdot 124 = 112

Resposta

A probabilidade $ P(X < \frac{1}{2}) $ é igual a $ \frac{1}{6} $.

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