Mostre que a curva alpha(t)=(2 raizt cos t, 3 raizt sen t, raiz1-t), 0 <= t <= 1, está contida no elipsóide 9 x^2+4 y^2+36 z^2=36

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a curva
alpha(t) = l(2raiztcos t,;3raiztsin t,;raiz1-tr), 0<= t<=1,
está contida no elipsóide
9x^2 + 4y^2 + 36z^2 = 36
Para isso, basta verificar que cada ponto alpha(t) satisfaz essa equação.

Passo 2

Denotando x(t)=2raiztcos t e y(t)=3raiztsin t, calculamos
9x(t)^2 = 9l(2raiztcos tr)^2 = 36,tcos^2 t,
4y(t)^2 = 4l(3raiztsin tr)^2 = 36,tsin^2 t
Somando esses dois termos vem
9x(t)^2 + 4y(t)^2 = 36,tl(cos^2 t + sin^2 tr) = 36,t

Passo 3

Para a componente z(t)=raiz1-t temos
36,z(t)^2 = 36l(raiz1-tr)^2 = 36,(1-t)
Somando com o resultado anterior:
9x(t)^2 + 4y(t)^2 + 36z(t)^2 = 36,t + 36,(1-t) = 36
Logo cada alpha(t) satisfaz exatamente a equação do elipsóide.

Resposta

Cada ponto alpha(t) satisfaz
9x^2 + 4y^2 + 36z^2 = 36,
portanto a curva está contida no elipsóide.

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