Um ponto se move no espaço segundo a equação
alpha(t)=(4 cos t, 4 sen t, 4 cos t)
Prove que a trajetória desse ponto é uma elipse;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a trajetória de um ponto que se move no espaço, dada pela equação alpha(t) = (4 cos t, 4 sin t, 4 cos t), é uma elipse. Estamos lidando com geometria analítica, onde vamos precisar entender como manipular equações paramétricas e relacioná-las a formas geométricas como a elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada componente da equação alpha(t) representa:
alpha(t) = (4 cos t, 4 sin t, 4 cos t)
Aqui, temos três funções:
  • x(t) = 4 cos t
  • y(t) = 4 sin t
  • z(t) = 4 cos t

Passo 3

Para provar que a trajetória é uma elipse, precisamos eliminar o parâmetro t e encontrar uma relação entre x, y e z. Olhando para as equações de x(t) e z(t), percebemos que:
x(t) = 4 cos t e z(t) = 4 cos t
Isso significa que:
x = z

Passo 4

Agora, vamos focar nas equações de x(t) e y(t):
x = 4 cos t e y = 4 sin t
Sabemos da trigonometria que cos^2 t + sin^2 t = 1. Vamos usar isso para eliminar t:
(x4)^2 + (y4)^2 = cos^2 t + sin^2 t = 1
Simplificando:
x^216 + y^216 = 1

Passo 5

A equação que conseguimos é:
x^216 + y^216 = 1
Essa é a equação de uma circunferência com raio 4, já que os coeficientes de x^2 e y^2 são iguais. No espaço tridimensional, mas lembrando que x = z, isso significa que o movimento acontece em um plano inclinado onde z = x.

Passo 6

Uma circunferência é um caso especial de uma elipse onde os dois eixos são iguais. Portanto, a trajetória descrita pela equação paramétrica original é de fato uma elipse.

Resposta

A trajetória do ponto é uma elipse.

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