Um ponto se move no espaço segundo a equação
Prove que a trajetória desse ponto é uma elipse;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a trajetória de um ponto que se move no espaço, dada pela equação
, é uma elipse. Estamos lidando com geometria analítica, onde vamos precisar entender como manipular equações paramétricas e relacioná-las a formas geométricas como a elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada componente da equação
representa:
Aqui, temos três funções:
Passo 3
Para provar que a trajetória é uma elipse, precisamos eliminar o parâmetro
e encontrar uma relação entre
,
e
. Olhando para as equações de
e
, percebemos que:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, vamos focar nas equações de
e
:
Sabemos da trigonometria que
. Vamos usar isso para eliminar
:
Simplificando:
Passo 5
A equação que conseguimos é:
Essa é a equação de uma circunferência com raio
, já que os coeficientes de
e
são iguais. No espaço tridimensional, mas lembrando que
, isso significa que o movimento acontece em um plano inclinado onde
.
Passo 6
Uma circunferência é um caso especial de uma elipse onde os dois eixos são iguais. Portanto, a trajetória descrita pela equação paramétrica original é de fato uma elipse.
Resposta
A trajetória do ponto é uma elipse.