Um ponto se move no espaço segundo a equação
Prove que
está contida em dois cilindros e ache as equaçőes dos mesmos;
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um ponto que se move no espaço de acordo com a equação paramétrica
. O conteúdo envolvido aqui é o estudo de curvas no espaço e a identificação de superfícies que contêm essa curva. Precisamos provar que a curva está contida em dois cilindros e encontrar as equações desses cilindros.
Passo 2
Primeiro, observamos as coordenadas de
:
Notamos que
e
são iguais, ou seja,
.
Passo 3
A partir de
, podemos escrever uma equação que relaciona
e
diretamente:
Esta é a equação de um cilindro que estende-se ao longo do eixo onde a diferença entre
e
é constante, neste caso, zero.
Passo 4
Agora, vamos relacionar
e
. Sabemos que
e
. Podemos usar a identidade trigonométrica
para eliminar o parâmetro
:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Esta é a equação de um cilindro circular com raio 4, estendendo-se ao longo do eixo
.
Passo 5
Portanto, identificamos dois cilindros que contêm a curva
:
Resposta
A curva
está contida nos cilindros
e
.