Um ponto se move no espaço segundo a equação
alpha(t)=(4 cos t, 4 sen t, 4 cos t)
Prove que alpha está contida em dois cilindros e ache as equaçőes dos mesmos;

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um ponto que se move no espaço de acordo com a equação paramétrica alpha(t) = (4 cos t, 4 sin t, 4 cos t). O conteúdo envolvido aqui é o estudo de curvas no espaço e a identificação de superfícies que contêm essa curva. Precisamos provar que a curva está contida em dois cilindros e encontrar as equações desses cilindros.

Passo 2

Primeiro, observamos as coordenadas de alpha(t):
x = 4 cos t, y = 4 sin t, z = 4 cos t
Notamos que x e z são iguais, ou seja, x = z.

Passo 3

A partir de x = z, podemos escrever uma equação que relaciona x e z diretamente:
x - z = 0
Esta é a equação de um cilindro que estende-se ao longo do eixo onde a diferença entre x e z é constante, neste caso, zero.

Passo 4

Agora, vamos relacionar x e y. Sabemos que x = 4 cos t e y = 4 sin t. Podemos usar a identidade trigonométrica cos^2 t + sin^2 t = 1 para eliminar o parâmetro t:
(x4)^2 + (y4)^2 = cos^2 t + sin^2 t = 1
Multiplicando ambos os lados por 16, temos:
x^2 + y^2 = 16
Esta é a equação de um cilindro circular com raio 4, estendendo-se ao longo do eixo z.

Passo 5

Portanto, identificamos dois cilindros que contêm a curva alpha(t):
  1. x - z = 0
  2. x^2 + y^2 = 16

Resposta

A curva alpha(t) está contida nos cilindros x - z = 0 e x^2 + y^2 = 16.

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