Mostre que a curva com equações paramétricas
e
está no cone
. Use esse fato para esboçar a curva.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede para mostrar que ela pertence ao cone definido por
e usar esse fato para esboçar a curva. Vamos usar eliminação do parâmetro para provar a relação do cone e depois interpretar em coordenadas cilíndricas para descrevê-la geometricamente.
Passo 2
Calculamos
:
Como
, temos
logo
o que prova que todo ponto da curva satisfaz
, ou seja, está no cone desejado.
Passo 3
Para visualizar melhor, passemos a coordenadas cilíndricas
, em que
Daí
Isso mostra que a curva é uma espiral em que o raio cresce linearmente com
, o ângulo em torno do eixo
é exatamente
e a altura é
. Como
, a espiral avança sempre sobre uma das nappas do cone de semi-abertura
.
Passo 4
Para esboçar, basta desenhar o cone
e traçar, sobre ele, uma curva que faz voltas uniformes em torno do eixo
, afastando-se do vértice com velocidade radial constante. Para
a espiral sobe no cone superior; para
, desce no cone inferior.
Resposta
A curva está no cone
e é uma espiral cônica (conical helix) que faz voltas de ângulo igual a
e cujo raio cresce como
, subindo (ou descendo) com
.