Mostre que a curva com equações paramétricas x=t cos (t), y=t sen(t) e z=t está no cone z^2=x^2+y^2. Use esse fato para esboçar a curva.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x(t)=tcos(t), y(t)=tsin(t), z(t)=t
e pede para mostrar que ela pertence ao cone definido por
z^2=x^2+y^2
e usar esse fato para esboçar a curva. Vamos usar eliminação do parâmetro para provar a relação do cone e depois interpretar em coordenadas cilíndricas para descrevê-la geometricamente.

Passo 2

Calculamos x^2+y^2:
x^2+y^2 =(tcos t)^2+(tsin t)^2 =t^2(cos^2t+sin^2t) =t^2
Como z(t)=t, temos
z^2=t^2,
logo
x^2+y^2=t^2=z^2,
o que prova que todo ponto da curva satisfaz z^2=x^2+y^2, ou seja, está no cone desejado.

Passo 3

Para visualizar melhor, passemos a coordenadas cilíndricas (r,theta,z), em que
r=raizx^2+y^2, theta=arg(x,y), z=z
Daí
r(t)=raizt^2=|t|, theta(t)=t, z(t)=t
Isso mostra que a curva é uma espiral em que o raio cresce linearmente com |t|, o ângulo em torno do eixo z é exatamente t e a altura é t. Como r=|z|, a espiral avança sempre sobre uma das nappas do cone de semi-abertura 45^circ.

Passo 4

Para esboçar, basta desenhar o cone z^2=x^2+y^2 e traçar, sobre ele, uma curva que faz voltas uniformes em torno do eixo z, afastando-se do vértice com velocidade radial constante. Para t>=0 a espiral sobe no cone superior; para t<=0, desce no cone inferior.

Resposta

A curva está no cone z^2=x^2+y^2 e é uma espiral cônica (conical helix) que faz voltas de ângulo igual a t e cujo raio cresce como |t|, subindo (ou descendo) com z=t.

Exercícios relacionados