Verifique se as funções abaixo são deriváveis em x0.
f(x)=rlx+2, & se x <=-4 -(x+6), & se x>-4, x0=-4

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x+2, & se x<= -4, -(x+6), & se x>-4
e pede para verificar se f é diferenciável em x0=-4. Para isso, vamos checar primeiro a continuidade em x0 e depois comparar as derivadas laterais.

Passo 2

Para testar a continuidade em x0=-4 calculamos
limxto -4^-f(x), limxto -4^+f(x) e f(-4).
Como para x<= -4 vale f(x)=x+2, temos
limxto -4^-f(x)=(-4)+2=-2,
e também
f(-4)=(-4)+2=-2
Para x>-4 vale f(x)=-(x+6), logo
limxto -4^+f(x)=-l((-4)+6r)=-2
Como todas as três quantidades dão -2, f é contínua em x0.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas laterais em x0.
Para x< -4, f(x)=x+2 e logo
f'(x)=1Longrightarrowlimxto -4^-f'(x)=1
Para x> -4, f(x)=-(x+6)=-x-6 e portanto
f'(x)=-1Longrightarrowlimxto -4^+f'(x)=-1

Passo 4

Como as derivadas laterais não coincidem ( 1neq -1), f não é diferenciável em x0=-4.

Resposta

f não é diferenciável em x0=-4.

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