(a) Mostre que a curva r(t)=(cos (t), cos (t) sen(t), sin ^2(t)) pertence a uma esfera unitária.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a curva
r(t)=l(cos(t),,cos(t)sin(t),,sin^2(t)r)
pertence à esfera de raio 1 centrada na origem. Para isso vamos usar o conceito de norma de vetor em R^3 e a identidade pitagórica sin^2(t)+cos^2(t)=1.

Passo 2

Calcular o quadrado da norma de r(t):
|r(t)|^2 = l(cos(t)r)^2 + l(cos(t)sin(t)r)^2 + l(sin^2(t)r)^2

Passo 3

Simplificar os termos usando sin^2(t)+cos^2(t)=1:
|r(t)|^2 = cos^2(t) + cos^2(t)sin^2(t) + sin^4(t) = cos^2(t) + sin^2(t)l(cos^2(t)+sin^2(t)r) = cos^2(t) + sin^2(t) =1

Passo 4

Como |r(t)|^2=1 para todo t, temos |r(t)|=1. Portanto, todos os pontos da curva estão a distância 1 da origem.

Resposta

Assim, r(t) pertence à esfera unitária porque |r(t)|=1 para todo t.

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