Mostre que se d=(a, b) e d^prime=(2 a+5 b,-7 a+b) então d mid d^prime.

Passo 1

Temos como dados \
d=gcd(a,b) e \
d'=gcd(2a+5b,,-7a+b). O conteúdo aqui é teoria de divisibilidade e propriedades do máximo divisor comum (gcd).

Passo 2

Como d=gcd(a,b), pela definição de gcd vem que dmid a e dmid b.

Passo 3

Pela propriedade de divisibilidade, se um número divide dois números então divide qualquer combinação linear deles. Assim, de dmid a e dmid b segue que dmid(2a+5b) e dmid(-7a+b).

Passo 4

Agora, d é divisor comum de 2a+5b e -7a+b. Por definição do gcd, todo divisor comum de dois números divide o gcd desses números. Logo, dmid d'.

Resposta

dmid d'

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