Mostre que:
Se
é uma transformação linear então
é uma transformação linear para todo
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um espaço vetorial U, outro espaço vetorial V sobre o mesmo corpo
e uma transformação linear
, então a aplicação
definida por
também é linear, para todo
. Vamos usar a definição de transformação linear, que exige duas propriedades: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a aditividade. Para quaisquer vetores
:
Como
é linear,
. Logo:
Passo 3
Agora, vamos verificar a homogeneidade em relação a um escalar
. Para qualquer
:
Como
é linear,
. Então:
Resposta
Como
satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que é de fato uma transformação linear.