Mostre que:
Se T: U V é uma transformação linear então alpha T: U V é uma transformação linear para todo alpha in K.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um espaço vetorial U, outro espaço vetorial V sobre o mesmo corpo K e uma transformação linear T: U to V, então a aplicação alpha T: U to V definida por (alpha T)(u)=alpha,T(u) também é linear, para todo alphainK. Vamos usar a definição de transformação linear, que exige duas propriedades: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a aditividade. Para quaisquer vetores u,u'in U:
(alpha T)(u+u')=alpha,T(u+u')
Como T é linear, T(u+u')=T(u)+T(u'). Logo:
(alpha T)(u+u')=alphal(T(u)+T(u')r)=alpha T(u)+alpha T(u')=(alpha T)(u)+(alpha T)(u')

Passo 3

Agora, vamos verificar a homogeneidade em relação a um escalar betainK. Para qualquer uin U:
(alpha T)(beta u)=alpha,T(beta u)
Como T é linear, T(beta u)=beta,T(u). Então:
(alpha T)(beta u)=alphal(beta T(u)r)=(alphabeta)T(u)=betal(alpha T(u)r)=beta,(alpha T)(u)

Resposta

Como alpha T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que é de fato uma transformação linear.

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