Para que valor de \mathrm{u} / \mathrm{c} a massa medida de uma partícula excede a massa de repouso por um fator de 5 vezes?

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado:
  • Pede: encontrar o valor de u/c (ou seja, a fração da velocidade da partícula em relação à velocidade da luz) para que a massa medida da partícula exceda sua massa de repouso por um fator de 5.
  • Informação dada (interpretada): a massa relativística m é 5 vezes a massa de repouso m_0. Ou seja:
m = 5\,m_0.
  • Variáveis:
    • u = velocidade da partícula (incógnita).
    • c = velocidade da luz no vácuo (constante).
    • \beta = razão \beta=\dfrac{u}{c} (é isso que vamos encontrar).

Passo 2

A fórmula que relaciona massa medida e massa de repouso (explicando a física por trás, de forma simples):
  • Na relatividade, a chamada “massa relativística” pode ser escrita como
m=\gamma\,m_0,
onde m_0 é a massa de repouso e \gamma é o fator de Lorentz.
  • O fator de Lorentz \gamma é dado por
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},
com \beta=\dfrac{u}{c}. Explicando em palavras: conforme a velocidade u se aproxima de c, o denominador \sqrt{1-\beta^2} fica pequeno e \gamma cresce muito — isso é a razão pela qual a massa medida aumenta com a velocidade.
  • Aqui queremos o caso em que m=5\,m_0, então \gamma=5.

Passo 3

Montar a equação e isolar \beta:
  • Igualando \gamma a 5:
\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}=5.
  • Inverter ambos os lados:
\sqrt{1-\beta^2}=\frac{1}{5}.
  • Elevar ao quadrado para eliminar a raiz:
1-\beta^2=\frac{1}{25}.
  • Isolar \beta^2:
\beta^2=1-\frac{1}{25}=\frac{24}{25}.

Passo 4

Obter \beta e dar forma exata e aproximada:
  • Tirando a raiz:
\beta=\sqrt{\frac{24}{25}}=\frac{\sqrt{24}}{5}=\frac{2\sqrt{6}}{5}.
  • Valor numérico aproximado (usar vírgula como separador decimal):
\beta=\frac{2\sqrt{6}}{5}\approx 0,9798.

Passo 5

Verificação simples (checar que \gamma volta a 5):
  • Como \beta^2=\dfrac{24}{25}=0,96, temos 1-\beta^2=0,04, \sqrt{1-\beta^2}=0,2 e \gamma=1/0,2=5. Está consistente.

Resposta

\dfrac{u}{c}=\dfrac{2\sqrt{6}}{5}\approx 0,9798

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