Para que valor de \mathrm{u} / \mathrm{c} a massa medida de uma partícula excede a massa de repouso por um fator de 20 vezes?

Passo 1

O enunciado dá que a massa medida da partícula excede a massa de repouso por um fator de 20. Ou seja:
  • Massa medida: m = 20\,m_0, onde m_0 é a massa de repouso.
  • A incógnita pedida é o valor de \mathrm{u}/\mathrm{c} (a velocidade da partícula dividida pela velocidade da luz).

Passo 2

Vamos lembrar a relação que liga a massa medida (às vezes chamada de massa relativística) com a massa de repouso. A fórmula é
m=\gamma\,m_0,
onde \gamma é o fator de Lorentz definido por
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}
e aqui usamos a notação \beta=\dfrac{\mathrm{u}}{\mathrm{c}}.
Explicação rápida e intuitiva: \gamma surge na teoria da relatividade por causa do alongamento temporal e do aumento de energia quando uma partícula se move rápido. Só preciso dessa fórmula para relacionar o aumento da massa com a velocidade; cada símbolo significa:
  • m: massa medida pelo observador que vê a partícula se mover,
  • m_0: massa de repouso (medida no referencial da própria partícula),
  • \mathrm{u}: velocidade da partícula,
  • \mathrm{c}: velocidade da luz,
  • \beta=\mathrm{u}/\mathrm{c}: razão adimensional da velocidade.

Passo 3

Substituo a condição m=20\,m_0 na expressão m=\gamma m_0. Isso dá
\gamma=20.
Agora uso a definição de \gamma:
\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=20.
Isolo a raiz:
\sqrt{1-\beta^{2}}=\frac{1}{20}.

Passo 4

Elevo ao quadrado para eliminar a raiz:
1-\beta^{2}=\frac{1}{400}.
Isolando \beta^{2}:
\beta^{2}=1-\frac{1}{400}=\frac{399}{400}.
Tomo a raiz quadrada. Fisicamente escolho a raiz positiva porque \beta=\mathrm{u}/\mathrm{c} é a magnitude da velocidade relativa:
\beta=\frac{\sqrt{399}}{20}.

Passo 5

Faço a aproximação decimal para um número prático. Calculando numericamente:
\frac{\sqrt{399}}{20}\approx 0,998749\ldots
Portanto a partícula precisa ir extremamente próxima da velocidade da luz para que sua massa medida seja 20 vezes a massa de repouso — isso é típico: fatores grandes de \gamma exigem velocidades muito próximas de \mathrm{c}. Força e ânimo: é normal ficar surpreso com esses números, a relatividade realmente faz a velocidade se aproximar de \mathrm{c} para produzir grandes fatores.

Resposta

\dfrac{\mathrm{u}}{\mathrm{c}}=\dfrac{\sqrt{399}}{20}\approx 0,998749

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