Mostre que:
(e) \vec{u} \neq \overrightarrow{0} \Rightarrow||\vec{u}||>0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial com produto interno, se \vec u não é o vetor nulo então sua norma é estritamente positiva. Este resultado está ligado à propriedade de positividade definida do produto interno.

Passo 2

Por definição, a norma de um vetor \vec u é
\|\vec u\| = \sqrt{\langle \vec u, \vec u\rangle},
onde \langle \cdot,\cdot\rangle é o produto interno. Uma das propriedades axiomáticas do produto interno é a positividade definida, ou seja, para todo vetor \vec v vale
\langle \vec v,\vec v\rangle \ge 0 \quad\text{e}\quad \langle \vec v,\vec v\rangle = 0 \iff \vec v = \vec 0.

Passo 3

Como \vec u \neq \vec 0, pela positividade definida temos
\langle \vec u,\vec u\rangle > 0.
Então, tomando raiz quadrada em ambos os lados, obtemos
\|\vec u\| = \sqrt{\langle \vec u,\vec u\rangle} > 0.

Resposta

Portanto, sempre que \vec u \neq \vec 0 temos \|\vec u\|>0.

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