Sejam L: V W e U: V W transformações lineares. Definimos S(v)=L(v)+U(v) para todo v in V e P(v)=b U(v) para todo v in V e para algum b real não-nulo.
Mostre que P é uma transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que P , definida por P(v) = b cdot U(v) onde b é um número real diferente de zero e U é uma transformação linear de V para W , também é uma transformação linear. Vamos usar os conceitos de transformações lineares e verificar se P satisfaz as propriedades necessárias para ser linear.

Passo 2

Primeiro, lembremos o que é uma transformação linear. Uma função T: V W é linear se, para quaisquer vetores u, v in V e qualquer escalar c , as seguintes duas condições são verdadeiras:
  1. Adição vetorial: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Multiplicação por escalar: T(c cdot v) = c cdot T(v)
Vamos verificar se P satisfaz essas duas propriedades.

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade, a adição vetorial. Pegamos dois vetores quaisquer v1, v2 in V :
P(v1 + v2) = b cdot U(v1 + v2)
Como U é linear, sabemos que:
U(v1 + v2) = U(v1) + U(v2)
Substituindo na expressão de P(v1 + v2) :
P(v1 + v2) = b cdot (U(v1) + U(v2)) = b cdot U(v1) + b cdot U(v2) = P(v1) + P(v2)
Então, a propriedade da adição vetorial está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a multiplicação por escalar. Seja c um escalar qualquer e v in V :
P(c cdot v) = b cdot U(c cdot v)
Como U é linear, temos:
U(c cdot v) = c cdot U(v)
Substituindo na expressão de P(c cdot v) :
P(c cdot v) = b cdot (c cdot U(v)) = c cdot (b cdot U(v)) = c cdot P(v)
Assim, a propriedade da multiplicação por escalar também está satisfeita.

Resposta

Como P satisfaz as duas propriedades das transformações lineares (adição vetorial e multiplicação por escalar), podemos concluir que P é, de fato, uma transformação linear.

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