Sejam L: V
W e U: V
W transformações lineares. Definimos
para todo
e
para todo
e para algum
real não-nulo.
Mostre que
é uma transformação linear.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que
, definida por
onde
é um número real diferente de zero e
é uma transformação linear de
para
, também é uma transformação linear. Vamos usar os conceitos de transformações lineares e verificar se
satisfaz as propriedades necessárias para ser linear.
Passo 2
Primeiro, lembremos o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, as seguintes duas condições são verdadeiras:
- Adição vetorial:
- Multiplicação por escalar:
Vamos verificar se
satisfaz essas duas propriedades.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade, a adição vetorial. Pegamos dois vetores quaisquer
:
Como
é linear, sabemos que:
Substituindo na expressão de
:
Então, a propriedade da adição vetorial está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a multiplicação por escalar. Seja
um escalar qualquer e
:
Como
é linear, temos:
Substituindo na expressão de
:
Assim, a propriedade da multiplicação por escalar também está satisfeita.
Resposta
Como
satisfaz as duas propriedades das transformações lineares (adição vetorial e multiplicação por escalar), podemos concluir que
é, de fato, uma transformação linear.