Sejam
. Mostre que se
, então
ou
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados
, a igualdade
implica que
ou
.
Vamos usar a fatoração da diferença de quadrados e a propriedade de domínio de integridade de (ou seja, se um produto em inteiros é zero, então um dos fatores é zero).
Vamos usar a fatoração da diferença de quadrados e a propriedade de domínio de integridade de
Passo 2
Começamos com
Subtraindo
de ambos os lados, obtemos
Em seguida, aplicamos a fatoração de diferença de quadrados:
Passo 3
Como
é um domínio de integridade, do produto
segue que ou
ou
Passo 4
Caso 1:
. Daí
.
Caso 2: . Daí
.
Caso 2:
Resposta
Portanto, se
com
, então necessariamente
ou
.