Sejam m, n in Z. Mostre que se m^2=n^2, então m=n ou m=-n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados m,ninZ, a igualdade
m^2 = n^2
implica que m=n ou m=-n.
Vamos usar a fatoração da diferença de quadrados e a propriedade de domínio de integridade de Z (ou seja, se um produto em inteiros é zero, então um dos fatores é zero).

Passo 2

Começamos com
m^2 = n^2
Subtraindo n^2 de ambos os lados, obtemos
m^2 - n^2 = 0
Em seguida, aplicamos a fatoração de diferença de quadrados:
m^2 - n^2 = (m - n),(m + n)

Passo 3

Como Z é um domínio de integridade, do produto
(m - n),(m + n) = 0
segue que ou
m - n = 0
ou
m + n = 0

Passo 4

Caso 1: m - n = 0. Daí m = n.
Caso 2: m + n = 0. Daí m = -n.

Resposta

Portanto, se m^2 = n^2 com m,ninZ, então necessariamente m = n ou m = -n.

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