Mostre que dados
e que
Passo 1
O enunciado pede para provar, em
, que para quaisquer
valem
Para isso, vamos usar as propriedades de anel de
: existência de inverso aditivo e distributividade da multiplicação sobre a adição.
Passo 2
Mostramos primeiro que
é o inverso aditivo de
. Observe que, pela distributividade,
Mas
, logo
Isso significa que
somado a
dá zero, ou seja,
é o inverso aditivo de
. Portanto,
Passo 3
De modo análogo, para
temos
e como
obtemos
Logo
também é o inverso aditivo de
, isto é,
Passo 4
Das igualdades
vemos que
e ambas iguais a
. Isso prova a primeira parte pedida.
Passo 5
Para
, use que já sabemos
. Então
pelo resultado do Passo 2 (trocando
por
e
por
). Substituindo
,
pois o inverso aditivo do inverso aditivo de
é
de volta.