Mostre que dados m, n in Z,(-m) n=-m n=m(-n) e que (-m)(-n)=m n

Passo 1

O enunciado pede para provar, em Z, que para quaisquer m,ninZ valem
(-m),n = -l(m,nr) = m,(-n) e (-m)(-n)=m,n
Para isso, vamos usar as propriedades de anel de Z: existência de inverso aditivo e distributividade da multiplicação sobre a adição.

Passo 2

Mostramos primeiro que (-m)n é o inverso aditivo de m n. Observe que, pela distributividade,
l((-m)+mr)n = (-m)n + m n
Mas (-m)+m=0, logo
0cdot n = 0 = (-m)n + m n
Isso significa que (-m)n somado a m n dá zero, ou seja, (-m)n é o inverso aditivo de m n. Portanto,
(-m)n = -(m n)

Passo 3

De modo análogo, para m(-n) temos
ml((-n)+nr) = m(-n) + m n,
e como (-n)+n=0 obtemos
mcdot 0 = 0 = m(-n) + m n
Logo m(-n) também é o inverso aditivo de m n, isto é,
m(-n) = -(m n)

Passo 4

Das igualdades
(-m)n = -(m n) e m(-n) = -(m n)
vemos que
(-m)n = m(-n)
e ambas iguais a -l(m nr). Isso prova a primeira parte pedida.

Passo 5

Para (-m)(-n), use que já sabemos m(-n)=-(m n). Então
(-m)(-n) = -l(m(-n)r)
pelo resultado do Passo 2 (trocando m por -m e n por -n). Substituindo m(-n)=-(m n),
(-m)(-n) = -l(-(m n)r) = m n,
pois o inverso aditivo do inverso aditivo de m n é m n de volta.

Resposta

(-m)n = -(m n) = m(-n) e (-m)(-n) = m n

Exercícios relacionados