Seja
. Mostre que se o mínimo (máximo) do conjunto
existe, então ele é único.
Passo 1
O enunciado diz que
e pede para mostrar que, se o mínimo (ou o máximo) de
existe, então não pode haver dois distintos. Vamos usar a definição de mínimo numa relação de ordem e a propriedade de antissimetria em
.
Passo 2
Suponha que existam dois mínimos de
, digamos
e
, com
e tais que ambos satisfazem a definição de mínimo:
Em particular, como
então
, e como
então
. Logo
e, por antissimetria da ordem em
, segue que
Portanto, o mínimo de
, se existir, é único.
Passo 3
O argumento para o máximo é totalmente análogo, trocando “
” por “
”. Se
e
forem dois máximos de
, então
o que implica
e
, e novamente por antissimetria obtemos
. Logo, o máximo de
, se existir, também é único.
Resposta
O mínimo (máximo) de
, quando existe, não pode ter duplicata: ele é único.