Seja X subset Z. Mostre que se o mínimo (máximo) do conjunto X existe, então ele é único.

Passo 1

O enunciado diz que XsubsetZ e pede para mostrar que, se o mínimo (ou o máximo) de X existe, então não pode haver dois distintos. Vamos usar a definição de mínimo numa relação de ordem e a propriedade de antissimetria em Z.

Passo 2

Suponha que existam dois mínimos de X, digamos m e m', com
m,m'in X,
e tais que ambos satisfazem a definição de mínimo:
forall xin X:;m<= x e forall xin X:;m'<= x
Em particular, como min X então m'<= m, e como m'in X então m<= m'. Logo
m<= m' e m'<= m
e, por antissimetria da ordem em Z, segue que
m = m'
Portanto, o mínimo de X, se existir, é único.

Passo 3

O argumento para o máximo é totalmente análogo, trocando “ <=” por “ >=”. Se M e M' forem dois máximos de X, então
forall xin X:;x<= M e forall xin X:;x<= M',
o que implica M<= M' e M'<= M, e novamente por antissimetria obtemos M=M'. Logo, o máximo de X, se existir, também é único.

Resposta

O mínimo (máximo) de X, quando existe, não pode ter duplicata: ele é único.

Exercícios relacionados