Mostre que para qualquer que seja
(onde
). Use isso para mostrar que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro
, o quadrado
é sempre não negativo, e então usar esse fato para deduzir que
. O conteúdo que vamos usar é a noção de ordem em
(tricotomia) e as propriedades do produto em anel ordenado.
Passo 2
Em
vale a tricotomia: para todo
exatamente uma das três alternativas ocorre:
Analisaremos cada caso para
.
Passo 3
Se
, então
logo
.
Passo 4
Se
, o produto de dois inteiros positivos também é positivo. Assim
e portanto
.
Passo 5
Se
, então
. Logo
e assim
.
Passo 6
Nos três casos concluímos
Passo 7
Tomando
em
, obtemos
isto é,
. Como em
sabe-se que
, segue que
, ou seja,
Resposta
Mostramos que
para todo
e, ao aplicar em
, concluímos
.