Mostre que para qualquer que seja m in Z, 0 <= m^2 (onde m^2=m m ). Use isso para mostrar que 0<1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro m, o quadrado m^2 é sempre não negativo, e então usar esse fato para deduzir que 0<1. O conteúdo que vamos usar é a noção de ordem em Z (tricotomia) e as propriedades do produto em anel ordenado.

Passo 2

Em Z vale a tricotomia: para todo minZ exatamente uma das três alternativas ocorre:
m=0, m>0ou m<0
Analisaremos cada caso para m^2.

Passo 3

Se m=0, então
m^2 = 0cdot 0 = 0,
logo m^2 >= 0.

Passo 4

Se m>0, o produto de dois inteiros positivos também é positivo. Assim
m^2 = mcdot m > 0,
e portanto m^2 >= 0.

Passo 5

Se m<0, então -m>0. Logo
(-m)^2 = (-m)cdot(-m) = mcdot m = m^2 > 0,
e assim m^2>= 0.

Passo 6

Nos três casos concluímos
forall minZ, m^2 >= 0

Passo 7

Tomando m=1 em m^2>= 0, obtemos
1^2 >= 0,
isto é, 1 >= 0. Como em Z sabe-se que 1neq 0, segue que 1>0, ou seja,
0<1

Resposta

Mostramos que m^2>= 0 para todo minZ e, ao aplicar em m=1, concluímos 0<1.

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