Mostre, pela definição de limite de funções com várias variáveis, que:
Passo 1
O enunciado pede que mostremos, usando a definição de limite para funções de duas variáveis, que
Informações dadas:
o ponto de interesse é
e o valor a ser atingido pelo limite é
.
A tarefa é provar, pela definição epsílon‑delta, que para todo existe
tal que se
então
.
A tarefa é provar, pela definição epsílon‑delta, que para todo
Passo 2
Escrevendo a definição formal: precisamos mostrar que
Vou trabalhar a expressão
e encontrar um
conveniente em função de
.
Passo 3
Primeiro simplificamos a diferença entre a função e o valor proposto:
Aplicando a desigualdade triangular (que diz que
para quaisquer
), obtemos
Passo 4
Defina
que é a distância entre
e
. Note que
porque cada componente em valor absoluto é no máximo a norma euclidiana. Substituindo essas desigualdades na desigualdade do passo anterior, obtemos
Passo 5
Agora escolhemos
em função de
. Se tomarmos
então sempre que
temos
Isso mostra exatamente a condição da definição epsílon‑delta: para cada
existe
que funciona.
Passo 6
Concluímos que a definição de limite é satisfeita, portanto