Mostre, pela definição de limite de funções com várias variáveis, que:
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,-1)} 3 x+2 y=4

Passo 1

O enunciado pede que mostremos, usando a definição de limite para funções de duas variáveis, que
\lim_{(x,y)\to(2,-1)} 3x+2y = 4.
Informações dadas:
f(x,y)=3x+2y,
o ponto de interesse é (2,-1) e o valor a ser atingido pelo limite é 4.
A tarefa é provar, pela definição epsílon‑delta, que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que se 0<\sqrt{(x-2)^2+(y+1)^2}<\delta então |3x+2y-4|<\varepsilon.

Passo 2

Escrevendo a definição formal: precisamos mostrar que
\forall \varepsilon>0\\ \exists \delta>0\\ \text{ tal que se }\\\ 0<\sqrt{(x-2)^2+(y+1)^2}<\delta\\ \text{ então }\\ |3x+2y-4|<\varepsilon.ã
Vou trabalhar a expressão |3x+2y-4| e encontrar um \delta conveniente em função de \varepsilon.

Passo 3

Primeiro simplificamos a diferença entre a função e o valor proposto:
3x+2y-4=3(x-2)+2(y+1).
Aplicando a desigualdade triangular (que diz que |a+b|\le |a|+|b| para quaisquer a,b), obtemos
|3x+2y-4| = |3(x-2)+2(y+1)| \le 3|x-2|+2|y+1|.

Passo 4

Defina
\rho=\sqrt{(x-2)^2+(y+1)^2},
que é a distância entre (x,y) e (2,-1). Note que
|x-2|\le \rho\quad\text{e}\quad |y+1|\le \rho,
porque cada componente em valor absoluto é no máximo a norma euclidiana. Substituindo essas desigualdades na desigualdade do passo anterior, obtemos
|3x+2y-4| \le 3|x-2|+2|y+1| \le 3\rho+2\rho = 5\rho.

Passo 5

Agora escolhemos \delta em função de \varepsilon. Se tomarmos
\delta=\frac{\varepsilon}{5},
então sempre que 0<\sqrt{(x-2)^2+(y+1)^2}=\rho<\delta temos
|3x+2y-4| \le 5\rho < 5\delta = 5\cdot\frac{\varepsilon}{5} = \varepsilon.
Isso mostra exatamente a condição da definição epsílon‑delta: para cada \varepsilon>0 existe \delta=\varepsilon/5>0 que funciona.

Passo 6

Concluímos que a definição de limite é satisfeita, portanto
\lim_{(x,y)\to(2,-1)} 3x+2y = 4.

Resposta

4

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