Mostre que:
Se T in L(V, K^m) então existem g1, ldots, gm in V^* tais que T(v)=(g1(v), ldots, gm(v)) para todo v in V.

Passo 1

O enunciado pertence ao tema de espaços dual e transformações lineares. Temos uma aplicação linear
Tcolon V to K^m
e queremos mostrar que existem funcionais lineares
,g1,dots,gmin V^*
(todos em L(V,K)) tais que, para todo vin V,
T(v) = l(g1(v),,g2(v),,dots,,gm(v)r)

Passo 2

Definimos para cada jin1,dots,m a projeção canônica
pijcolon K^m to K, pijl(a1,dots,amr)=aj
Cada pij é claramente linear, pois preserva soma e multiplicação escalar em K^m.

Passo 3

Compondo T com pij, obtemos
gj ;:=; pijcirc T ;colon; V xrightarrow,T, K^m xrightarrow,pij, K
Como composição de aplicações lineares, cada gj é um funcional linear em V. Logo gjin V^*=L(V,K).

Passo 4

Para verificar a identificação pedida, basta avaliar T(v) e aplicar as projeções:
pijl(T(v)r) ;=; (pijcirc T)(v) ;=; gj(v)
Assim o vetor T(v)inK^m tem exatamente as componentes
T(v) =l(pi1(T(v)),dots,pim(T(v))r) =l(g1(v),dots,gm(v)r)

Resposta

Basta tomar
gj = pij circ T, j=1,dots,m,
onde pij é a projeção no j-ésimo componente de K^m. Aí
T(v) = l(g1(v),dots,gm(v)r)

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