Mostre que:
Se
então existem
tais que
para todo
.
Se
Passo 1
O enunciado pertence ao tema de espaços dual e transformações lineares. Temos uma aplicação linear
e queremos mostrar que existem funcionais lineares
(todos em ) tais que, para todo
,
(todos em
Passo 2
Definimos para cada
a projeção canônica
Cada
é claramente linear, pois preserva soma e multiplicação escalar em
.
Passo 3
Compondo
com
, obtemos
Como composição de aplicações lineares, cada
gj é um funcional linear em
V . Logo
gjin V^*=L(V,K) .
Passo 4
Para verificar a identificação pedida, basta avaliar
T(v) e aplicar as projeções:
Assim o vetor
T(v)inK^m tem exatamente as componentes
Resposta
Basta tomar
onde
pij é a projeção no
j -ésimo componente de
K^m . Aí