Mostre que a derivada temporal de G é dada por:
Onde T é a energia cinética total do sistema e
é a força resultante sobre a i-ésima partícula.
(Dica: Use a definição de
e as leis de Newton para calcular
)
(Dica: Use a definição de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a derivada temporal de $ G $ é igual a $ 2T + \sum_{i=1}^{N} \vec{r}{i} \cdot \vec{F}{i} $. Aqui, $ T $ é a energia cinética total do sistema, $ \vec{F}_{i} $ é a força na $ i $-ésima partícula, e $ G $ será definido conforme a dica. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de $ G $ e as leis de Newton. Então, vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é $ G $. Geralmente, em problemas desse tipo, $ G $ é definido como:
onde $ \vec{r}{i} $ é a posição da $ i $-ésima partícula e $ \vec{p}{i} $ é o momento linear dela. Essa expressão é conhecida como o produto interno entre posição e momento para todas as partículas do sistema.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a derivada temporal de $ G $, ou seja, $ \frac{dG}{dt} $. Vamos calcular isso derivando cada termo da soma:
Passo 4
Para derivar $ \vec{r}{i} \cdot \vec{p}{i} $, usamos a regra do produto para derivadas de vetores:
Passo 5
Sabemos que $ \frac{d\vec{r}{i}}{dt} $ é a velocidade da partícula, que é $ \vec{v}{i} $. E pela segunda lei de Newton, $ \frac{d\vec{p}{i}}{dt} = \vec{F}{i} $. Então substituindo:
Passo 6
Sabemos que o momento $ \vec{p}{i} $ é igual a $ m{i} \vec{v}{i} $, onde $ m{i} $ é a massa da partícula. Então:
E a energia cinética de cada partícula é $ \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2} $. Portanto:
Passo 7
Somando sobre todas as partículas, temos:
Onde $ T $ é a energia cinética total do sistema.
Passo 8
Então, juntando tudo que calculamos:
Resposta
Portanto, mostramos que a derivada temporal de $ G $ é: