Mostre que det(k A)=k^n det A para a matriz (ll2 & 4 1 & 3) com k=4.

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre a propriedade
det(kA)=k^ndet(A)
para a matriz
A = 2 & 4 1 & 3
com k=4. Aqui A é 2times2, então n=2, e precisamos verificar que
det(4A)=4^2det(A)

Passo 2

Vamos primeiro achar det(A). Para uma 2times2 vale
det(A)=2cdot3-1cdot4=6-4=2

Passo 3

Agora formamos 4A:
4A=4cdot 2 & 4cdot 4 [0.3em] 4cdot 1 & 4cdot 3 =8 & 16 4 & 12
e calculamos
det(4A)=8cdot 12 - 4cdot 16 = 96 - 64 = 32
]

Passo 4

Comparando,
det(4A)=32 e 4^2det(A)=16cdot2=32,
logo são iguais e a propriedade está confirmada.

Resposta

det(4A)=4^2det(A), numericamente det(A)=2 e det(4A)=32.

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