Mostre que se A in Mn(R) é diagonalizável, então a matriz A^k é diagonalizável qualquer que seja o número natural k, k >= 1.

Passo 1

O enunciado afirma que Ain Mn(R) é diagonalizável e pede para mostrar que, para todo inteiro k>=1, a matriz A^k também é diagonalizável. Vamos usar a definição de diagonalização e as propriedades de potências de matrizes.

Passo 2

Como A é diagonalizável, existem uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que
A = P,D,P^-1
Aqui as colunas de P são autovetores de A e os elementos da diagonal de D são os autovalores correspondentes.

Passo 3

Para calcular a potência A^k, usamos a propriedade de que produto de uma matriz por sua inversa se anula nas potências:
A^k =l(P,D,P^-1r)^k = P,underbraceD,P^-1P,D,P^-1cdots P^-1k fatores ,D,P^-1 = P,D^k,P^-1

Passo 4

Como D é diagonal, D^k é também diagonal, cujas entradas são simplesmente cada autovalor de D elevado à potência k. Logo
A^k=P,D^k,P^-1
é uma diagonalização de A^k.

Resposta

Portanto, para todo inteiro k>=1, a matriz A^k é diagonalizável.

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