Mostre que se é diagonalizável, então a matriz é diagonalizável qualquer que seja o número natural .
Passo 1
O enunciado afirma que é diagonalizável e pede para mostrar que, para todo inteiro , a matriz também é diagonalizável. Vamos usar a definição de diagonalização e as propriedades de potências de matrizes.
Passo 2
Como é diagonalizável, existem uma matriz invertível e uma matriz diagonal tais que
Aqui as colunas de são autovetores de e os elementos da diagonal de são os autovalores correspondentes.
Passo 3
Para calcular a potência , usamos a propriedade de que produto de uma matriz por sua inversa se anula nas potências:
Passo 4
Como D é diagonal, D^k é também diagonal, cujas entradas são simplesmente cada autovalor de D elevado à potência k. Logo
A^k=P,D^k,P^-1
é uma diagonalização de A^k.
Resposta
Portanto, para todo inteiro k>=1, a matriz A^k é diagonalizável.