O polinômio característico de uma matriz é essencial para a descoberta de seus autovalores e, por consequência, de seus autovetores. Se uma matriz tem como polinômio característico p(lambda)=(3+lambda)(1-lambda)(4+lambda), indique a dimensão dessa matriz.
Escolha uma opção:
a. 4
b. 2
c. 3
d. 6
e. 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o polinômio característico de uma matriz, que é super importante para encontrar os autovalores e, por consequência, os autovetores dessa matriz. A gente precisa descobrir qual é a dimensão da matriz sabendo que o polinômio característico dela é p(lambda) = (3 + lambda)(1 - lambda)(4 + lambda) .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o polinômio característico. Ele é um polinômio que vem da matriz e seus autovalores são as raízes desse polinômio. A dimensão da matriz, ou seja, o tamanho dela, está diretamente relacionada ao grau do polinômio característico.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o polinômio dado: p(lambda) = (3 + lambda)(1 - lambda)(4 + lambda) . Vamos multiplicar os fatores para ver qual é o grau desse polinômio.

Passo 4

Multiplicando os termos:
p(lambda) = (3 + lambda)(1 - lambda)(4 + lambda)
Primeiro, multiplicamos os dois primeiros fatores:
(3 + lambda)(1 - lambda) = 3(1) + 3(-lambda) + lambda(1) + lambda(-lambda) = 3 - 3lambda + lambda - lambda^2 = 3 - 2lambda - lambda^2
Agora, multiplicamos esse resultado pelo terceiro fator:
(3 - 2lambda - lambda^2)(4 + lambda) = 3 times 4 + 3 times lambda - 2lambda times 4 - 2lambda times lambda - lambda^2 times 4 - lambda^2 times lambda
= 12 + 3lambda - 8lambda - 2lambda^2 - 4lambda^2 - lambda^3
= 12 - 5lambda - 6lambda^2 - lambda^3
Então, o polinômio característico simplificado é:
p(lambda) = -lambda^3 - 6lambda^2 - 5lambda + 12

Passo 5

Observando o polinômio, vemos que o grau dele é 3 (porque o termo de maior potência é -lambda^3). Isso nos diz que a dimensão da matriz é igual ao grau do polinômio característico.

Resposta

c. 3

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