O polinômio característico de uma matriz é essencial para a descoberta de seus autovalores e, por consequência, de seus autovetores. Se uma matriz tem como polinômio característico
, indique a dimensão dessa matriz.
Escolha uma opção:
a. 4
b. 2
c. 3
d. 6
e. 1
a. 4
b. 2
c. 3
d. 6
e. 1
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o polinômio característico de uma matriz, que é super importante para encontrar os autovalores e, por consequência, os autovetores dessa matriz. A gente precisa descobrir qual é a dimensão da matriz sabendo que o polinômio característico dela é
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o polinômio característico. Ele é um polinômio que vem da matriz e seus autovalores são as raízes desse polinômio. A dimensão da matriz, ou seja, o tamanho dela, está diretamente relacionada ao grau do polinômio característico.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o polinômio dado:
. Vamos multiplicar os fatores para ver qual é o grau desse polinômio.
Passo 4
Multiplicando os termos:
Primeiro, multiplicamos os dois primeiros fatores:
Agora, multiplicamos esse resultado pelo terceiro fator:
Então, o polinômio característico simplificado é:
Passo 5
Observando o polinômio, vemos que o grau dele é 3 (porque o termo de maior potência é
). Isso nos diz que a dimensão da matriz é igual ao grau do polinômio característico.
Resposta
c. 3