Nos problemas 1-6, determine se a equação dada é separável, linear, nenhuma, ou ambas.
3 r=d rd theta-theta^3

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de primeira ordem
3,r = drdtheta - theta^3
e pede para classificar se ela é separável, linear, nenhuma ou ambas. Para isso, lembramos:
  • Uma equação é separável se pode ser posta na forma f(r),dr = g(theta),dtheta.
  • É linear se pode ser escrita como
drdtheta + P(theta),r = Q(theta),
com P e Q funções só de theta.

Passo 2

Vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação linear. Partindo de
3,r = drdtheta - theta^3,
somamos theta^3 em ambos os lados e obtemos
drdtheta - 3,r = theta^3

Passo 3

Agora identificamos P(theta) e Q(theta) na forma
drdtheta + P(theta),r = Q(theta)
Aqui temos
P(theta) = -3, Q(theta) = theta^3,
que são funções apenas de theta. Logo, a equação é linear.

Passo 4

Para verificar se é separável, olharíamos para
drdtheta = 3,r + theta^3
O lado direito é soma de termos em r e em theta e não fatoriza na forma f(r),g(theta). Portanto não é possível separar as variáveis, ou seja, não é separável.

Resposta

A equação é linear.

Exercícios relacionados