Mostre que, se dois triângulos são semelhantes, então:
as alturas correspondentes estão na mesma razão que os lados.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em dois triângulos semelhantes, as alturas correspondentes estão na mesma razão que os lados correspondentes. O conteúdo que vamos usar é:
  • definição de triângulos semelhantes (lados proporcionais);
  • fórmula da área de um triângulo, A=tfrac12cdotbasecdota<ura.

Passo 2

Sejam triang<= ABC e triang<= A'B'C' semelhantes, com razão de semelhança
k ;=;BCB'C' ;=;CAC'A' ;=;ABA'B'
Defina hA como a altura de A sobre BC e hA' como a altura de A' sobre B'C'.

Passo 3

Escrevendo as áreas em função de base e altura, temos
Área(triang<= ABC)=tfrac12;BC;hA, Área(triang<= A'B'C')=tfrac12;B'C';hA' ÁÁ

Passo 4

Como triângulos semelhantes têm suas áreas na razão k^2, vale
Área(triang<= ABC)Área(triang<= A'B'C') =tfrac12,BC,hAtfrac12,B'C',hA' = k^2 ÁÁ
Daí
BCB'C';cdot;hAhA' = k^2
Mas tfracBCB'C'=k, logo
k,hAhA'=k^2 Longrightarrow hAhA'=k

Resposta

As alturas correspondentes estão na mesma razão k que os lados correspondentes.

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