Mostre que o triângulo cujos vértices são os pontos médios dos lados de um triângulo dado é semelhante ao triângulo original. Mostre que os quatro triângulos formados são dois a dois congruentes.
Passo 1
Vamos enunciar o problema e identificar o que precisamos provar. Temos um triângulo qualquer
. Sejam
,
e
os pontos médios, respectivamente, de
,
e
.
O que queremos mostrar é:
O que queremos mostrar é:
- O triângulo
é semelhante ao triângulo . - Ao ligar
, e , obtém-se quatro triângulos (o triângulo central e os três triângulos nos cantos , e ) que são dois a dois congruentes.
O conteúdo principal é o Teorema do Ponto Médio (que dá paralelismo e razão
) e critérios de semelhança e congruência de triângulos (SSS ou SAS).
Passo 2
Aplicamos o Teorema do Ponto Médio em cada par de lados de
:
– Como e
são pontos médios de
e
, o segmento
é paralelo a
e
– Como
Analogamente,
Passo 3
Da paralelidade e das igualdades de comprimentos obtemos que os ângulos de
correspondem exatamente aos ângulos de
. Por exemplo,
(lados paralelos) e assim por diante.
Portanto, por critério AA (Ângulo-Ângulo), é semelhante a
.
Portanto, por critério AA (Ângulo-Ângulo),
Passo 4
Já vimos também que
Logo a razão de semelhança entre
e
é
.
Passo 5
Ao traçar
,
e
, o triângulo
fica dividido em quatro triângulos:
(central) e os três triângulos nas pontas:
,
e
.
Passo 6
Examinemos, por exemplo,
. Seus lados são
E no triângulo central
temos
Em
e
ocorre o mesmo: cada um deles tem três lados iguais a
,
e
, apenas em ordem diferente.
Passo 7
Como todos os quatro triângulos têm seus três lados iguais dois a dois (
,
,
), eles são congruentes por SSS (Lado-Lado-Lado).
Resposta
O triângulo dos pontos médios
é semelhante ao triângulo original
com razão de semelhança
, e os quatro triângulos obtidos (
,
,
e
) são dois a dois congruentes.