Mostre que o triângulo cujos vértices são os pontos médios dos lados de um triângulo dado é semelhante ao triângulo original. Mostre que os quatro triângulos formados são dois a dois congruentes.

Passo 1

Vamos enunciar o problema e identificar o que precisamos provar. Temos um triângulo qualquer ABC. Sejam D, E e F os pontos médios, respectivamente, de BC, CA e AB.
O que queremos mostrar é:
  1. O triângulo DEF é semelhante ao triângulo ABC.
  2. Ao ligar D, E e F, obtém-se quatro triângulos (o triângulo central DEF e os três triângulos nos cantos AEF, BFD e CDE) que são dois a dois congruentes.
O conteúdo principal é o Teorema do Ponto Médio (que dá paralelismo e razão 1/2) e critérios de semelhança e congruência de triângulos (SSS ou SAS).

Passo 2

Aplicamos o Teorema do Ponto Médio em cada par de lados de ABC:
– Como D e E são pontos médios de BC e CA, o segmento DE é paralelo a AB e
DE = tfrac12,AB
Analogamente,
EF paral<=l BC, EF = tfrac12,BC,
FD paral<=l CA, FD = tfrac12,CA

Passo 3

Da paralelidade e das igualdades de comprimentos obtemos que os ângulos de DEF correspondem exatamente aos ângulos de ABC. Por exemplo,
ang<= DEF = ang<= ABC (lados paralelos) e assim por diante.
Portanto, por critério AA (Ângulo-Ângulo), DEF é semelhante a ABC.

Passo 4

Já vimos também que
DEAB = EFBC = FDCA = tfrac12
Logo a razão de semelhança entre DEF e ABC é tfrac12.

Passo 5

Ao traçar DE, EF e FD, o triângulo ABC fica dividido em quatro triângulos:
triang<= DEF (central) e os três triângulos nas pontas:
triang<= AEF, triang<= BFD e triang<= CDE.

Passo 6

Examinemos, por exemplo, triang<= AEF. Seus lados são
AE = tfrac12,AC, AF = tfrac12,AB, EF = tfrac12,BC
E no triângulo central triang<= DEF temos
DE = tfrac12,AB, EF = tfrac12,BC, FD = tfrac12,CA
Em triang<= BFD e triang<= CDE ocorre o mesmo: cada um deles tem três lados iguais a tfrac12,AB, tfrac12,BC e tfrac12,CA, apenas em ordem diferente.

Passo 7

Como todos os quatro triângulos têm seus três lados iguais dois a dois ( tfrac12,AB, tfrac12,BC, tfrac12,CA), eles são congruentes por SSS (Lado-Lado-Lado).

Resposta

O triângulo dos pontos médios DEF é semelhante ao triângulo original ABC com razão de semelhança tfrac12, e os quatro triângulos obtidos ( triang<= DEF, triang<= AEF, triang<= BFD e triang<= CDE) são dois a dois congruentes.

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