Mostre que, se dois triângulos são semelhantes, então:
as medianas correspondentes estão na mesma razão que os lados;
as medianas correspondentes estão na mesma razão que os lados;
Passo 1
Vamos considerar dois triângulos semelhantes
e
, com razão de semelhança
O que queremos mostrar é que a mediana de
em
, que chamamos de
, e a mediana de
em
, que chamamos de
, também satisfazem
Para isso, vamos usar o Teorema de Apollonius (fórmula do comprimento da mediana).
Passo 2
No triângulo
, a mediana
(do vértice
ao ponto médio de
) satisfaz o Teorema de Apollonius:
Passo 3
Em
, pelo mesmo teorema a mediana
obedece
Como
,
e
, substituímos:
Passo 4
Tirando raiz positiva em ambos os lados, obtemos
Isso prova que as medianas correspondentes têm a mesma razão
dos lados correspondentes.