Mostre que, se dois triângulos são semelhantes, então:
as medianas correspondentes estão na mesma razão que os lados;

Passo 1

Vamos considerar dois triângulos semelhantes triang<= ABC e triang<= A'B'C', com razão de semelhança
k = A'B'AB = A'C'AC = B'C'BC,
O que queremos mostrar é que a mediana de A em triang<= ABC, que chamamos de ma, e a mediana de A' em triang<= A'B'C', que chamamos de m'a, também satisfazem
m'ama = k Long<=ftrightarrow mam'a = 1k = ABA'B'
Para isso, vamos usar o Teorema de Apollonius (fórmula do comprimento da mediana).

Passo 2

No triângulo ABC, a mediana ma (do vértice A ao ponto médio de BC) satisfaz o Teorema de Apollonius:
ma^2 ;=;2,AB^2 + 2,AC^2 - BC^24,

Passo 3

Em , pelo mesmo teorema a mediana obedece
Como , e , substituímos:

Passo 4

Tirando raiz positiva em ambos os lados, obtemos
m'a = k,ma Longrightarrow m'ama = k Long<=ftrightarrow mam'a = 1k = ABA'B'
Isso prova que as medianas correspondentes têm a mesma razão k dos lados correspondentes.

Resposta

m'ama = A'B'AB, ou seja, as medianas correspondentes estão na mesma razão que os lados correspondentes.

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