Verifique que os triângulos AOB e XOY são semelhantes. Conclua relações trigonométricas entre seno, cosseno e tangente do ángulo ang<= AOB.

Passo 1

Vamos trabalhar no plano com o círculo de raio 1 centrado em O e medir o ângulo ang<= AOB=theta a partir do eixo Ox. Seja\r
,A=(1,0) o ponto de tangência do círculo com a reta vertical x=1. A reta que forma ângulo theta com o eixo Ox (passando por O) corta essa reta x=1 em B e corta o círculo em Y. Projetando Y sobre o eixo Ox obtemos X. Assim formam-se dois triângulos retos: AOB (reto em A) e XOY (reto em X). Queremos usar semelhança para extrair definições e relações entre sintheta, costheta e tantheta.

Passo 2

Observe que ambos os triângulos têm o ângulo agudo theta em O e são retos (em A e em X, respectivamente). Logo, por critério ângulo-ângulo, triang<= AOBsimtriang<= XOY.

Passo 3

Identifiquemos comprimentos nos dois triângulos.\r
\r
No triang<= AOB:\r
,OA=1 (raio), \r
,AB é a projeção vertical do raio inclinado, isto é \r
AB=tantheta,
e \r
OB=raizOA^2+AB^2=raiz1+tan^2theta=sectheta \r
\r
No triang<= XOY:\r
,OY=1 (raio), \r
,OX é a projeção sobre Ox, chamamos de \r
OX=costheta, \r
e \r
XY=sintheta

Passo 4

Da semelhança triang<= AOBsimtriang<= XOY seguem\r
ABOA=XYOX, OBOA=OYOX, ABOB=XYOY

Passo 5

Interpretação trigonométrica dessas razões: \r
  • No triang<= AOB, \r
    tantheta=ABOA \r
  • No triang<= XOY, \r
    sintheta=XYOY, costheta=OXOY

Passo 6

Em particular, de dfracABOA=dfracXYOX obtemos\r
tantheta=sinthetacostheta \r
E de ,OB=sectheta e OA=1 segue\r
sectheta=1costheta, 1+tan^2theta=sec^2theta

Resposta

sintheta=XYOY, costheta=OXOY, tantheta=ABOA, tantheta=sinthetacostheta, 1+tan^2theta=sec^2theta

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