Verifique que os triângulos
e
são semelhantes. Conclua relações trigonométricas entre seno, cosseno e tangente do ángulo
.
Passo 1
Vamos trabalhar no plano com o círculo de raio 1 centrado em
e medir o ângulo
a partir do eixo
. Seja\r
o ponto de tangência do círculo com a reta vertical
. A reta que forma ângulo
com o eixo
(passando por
) corta essa reta
em
e corta o círculo em
. Projetando
sobre o eixo
obtemos
. Assim formam-se dois triângulos retos:
(reto em
) e
(reto em
). Queremos usar semelhança para extrair definições e relações entre
,
e
.
Passo 2
Observe que ambos os triângulos têm o ângulo agudo
em
e são retos (em
e em
, respectivamente). Logo, por critério ângulo-ângulo,
.
Passo 3
Identifiquemos comprimentos nos dois triângulos.\r
\r
No :\r
(raio), \r
é a projeção vertical do raio inclinado, isto é \r
\r
No
e \r
\r
No :\r
(raio), \r
é a projeção sobre
, chamamos de \r
No
e \r
Passo 4
Da semelhança
seguem\r
Passo 5
Interpretação trigonométrica dessas razões: \r
- No
, \r
\r - No
, \r
Passo 6
Em particular, de
obtemos\r
E de
e
segue\r