Mostre que, se por um ponto na base de um triângulo isósceles traçamos retas paralelas aos lados congruentes, então se forma um paralelogramo cujo perímetro é igual à soma dos comprimentos dos lados congruentes.
Passo 1
Considere o triângulo isósceles com e base . Seja um ponto qualquer sobre . Traçamos por a reta paralela a , encontrando em , e a reta paralela a , encontrando em . Essas quatro retas definem o paralelogramo . Nosso objetivo é mostrar que o perímetro de é
Para isso, vamos usar semelhança de triângulos e relações de proporção (Teorema de Tales).
Passo 2
Analise primeiro o segmento . Nos triângulos e temos
Da semelhança vem
Passo 3
De modo análogo, como DFparal<=l AC, nos triângulos triang<= BDF e triang<= BAC vale
DF paral<=l AC Longrightarrow triang<= BDF sim triang<= BAC,
e assim
BFBA ;=;BDBC tag2
Passo 4
Das igualdades (1) e (2) temos
CECA + BFBA ;=; CDCB + BDBC ;=; CD + BDBC ;=;1
Portanto
CE + BF = CA(como (BA=CA) no isósce<=s) ó
Mas note que
AE = AC - CE e AF = AB - BF
Somando,
AE + AF = (AC - CE) + (AB - BF) = (AC + AB) - (CE + BF) = (AB + AC) - AC = AB
Passo 5
No paralelogramo AEFD, as arestas têm comprimentos AE e AF. Logo o perímetro vale
P = 2,(AE + AF) = 2,AB
Como AB=AC, concluímos
P = AB + AC
Resposta
O perímetro do paralelogramo formado é igual a AB + AC.