Mostre que, se por um ponto na base de um triângulo isósceles traçamos retas paralelas aos lados congruentes, então se forma um paralelogramo cujo perímetro é igual à soma dos comprimentos dos lados congruentes.

Passo 1

Considere o triângulo isósceles ABC com AB = AC e base BC. Seja D um ponto qualquer sobre BC. Traçamos por D a reta DE paralela a AB, encontrando E em AC, e a reta DF paralela a AC, encontrando F em AB. Essas quatro retas definem o paralelogramo AEFD. Nosso objetivo é mostrar que o perímetro de AEFD é
P = AB + AC
Para isso, vamos usar semelhança de triângulos e relações de proporção (Teorema de Tales).

Passo 2

Analise primeiro o segmento DEparal<=l AB. Nos triângulos triang<= CDE e triang<= CBA temos
DE paral<=l AB Longrightarrow triang<= CDE sim triang<= CBA
Da semelhança vem
CECA ;=;CDCB tag1

Passo 3

De modo análogo, como DFparal<=l AC, nos triângulos triang<= BDF e triang<= BAC vale
DF paral<=l AC Longrightarrow triang<= BDF sim triang<= BAC,
e assim
BFBA ;=;BDBC tag2

Passo 4

Das igualdades (1) e (2) temos
CECA + BFBA ;=; CDCB + BDBC ;=; CD + BDBC ;=;1
Portanto
CE + BF = CA(como (BA=CA) no isósce<=s) ó
Mas note que
AE = AC - CE e AF = AB - BF
Somando,
AE + AF = (AC - CE) + (AB - BF) = (AC + AB) - (CE + BF) = (AB + AC) - AC = AB

Passo 5

No paralelogramo AEFD, as arestas têm comprimentos AE e AF. Logo o perímetro vale
P = 2,(AE + AF) = 2,AB
Como AB=AC, concluímos
P = AB + AC

Resposta

O perímetro do paralelogramo formado é igual a AB + AC.

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