Sendo alpha, beta, gamma uma base positiva e também, qual a relação entre os números ?

Passo 1

O enunciado pede a relação entre os escalares alpha,beta,gamma de modo que a base F=(alpha e1,,beta e2,,gamma e3) tenha a mesma orientação (positiva) que a base E=(e1,e2,e3). Vamos usar o conceito de orientação de bases e determinante da matriz de mudança de base.

Passo 2

Quando a gente passa de uma base E para outra base F, a matriz de mudança de base T tem como colunas as coordenadas dos vetores de F em relação a E. Aqui, cada vetor de F é apenas um escalar vezes ei, então essa matriz fica em formato diagonal.
Em detalhe, a matriz de mudança de base é
T= alpha & 0 & 0 0 & beta & 0 0 & 0 & gamma

Passo 3

O próximo passo é lembrar que uma base é positiva (mesma orientação) se e somente se o determinante dessa matriz for positivo. Para matrizes diagonais, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Assim,
det(T)=alpha,beta,gamma

Passo 4

Para manter a orientação positiva de E em F, precisamos de det(T)>0. Portanto, a relação entre alpha,beta,gamma é:

Resposta

alpha,beta,gamma>0

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