Sejam j1=(1,0,2), j2=(0,-1,3) e j3=(2,-1,0). Responda a cada um dos itens:
caso os vetores acima formem uma base, escreva o vetor V=(-2,1,6) na referida base.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
,j1=(1,0,2), ,j2=(0,-1,3) e ,j3=(2,-1,0), e pede para, caso eles formem uma base, escrever o vetor V=(-2,1,6) nessa base.
O conteúdo é Álgebra Linear: vamos verificar se j1,j2,j3 são linearmente independentes (determinante não nulo) e, em seguida, resolver a combinação linear
V = a,j1 + b,j2 + c,j3
para encontrar (a,b,c).

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são j1,j2,j3:
A = 1 & 0 & 2 0 & -1 & -1 2 & 3 & 0
O determinante de A é
det(A) = 1cdotl((-1)cdot0 - (-1)cdot3r) - 0cdotl(0cdot0 - (-1)cdot2r) + 2cdotl(0cdot3 - (-1)cdot2r) = 1cdot3 + 2cdot2 = 3 + 4 = 7

Passo 3

Como det(A)=7neq0, os vetores j1,j2,j3 são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de R^3.

Passo 4

Vamos escrever
V = a,j1 + b,j2 + c,j3,
isto é,
a,(1,0,2) + b,(0,-1,3) + c,(2,-1,0) = (-2,1,6)
Isso gera o sistema
a + 2c = -2, -,b ;-; c = 1, 2a + 3b = 6

Passo 5

Da segunda equação vem
-b - c = 1 Longrightarrow b = -,c - 1
Da primeira equação
a + 2c = -2 Longrightarrow a = -2 - 2c
Substituindo em 2a + 3b = 6:
2(-2 - 2c) + 3(-c - 1) = 6 ;Longrightarrow; -4 -4c -3c -3 = 6 ;Longrightarrow; -7 -7c = 6 ;Longrightarrow; c = -tfrac137

Passo 6

Com c = -tfrac137 obtemos
b = -l(-tfrac137r) - 1 = tfrac137 - tfrac77 = tfrac67,
a = -2 - 2l(-tfrac137r) = -2 + tfrac267 = -tfrac147 + tfrac267 = tfrac127

Resposta

As coordenadas de V na base j1,j2,j3 são
l(a,b,cr) = l(tfrac127,,tfrac67,,-tfrac137r)

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