Mostre de duas formas que a função f(z)=\exp \left(z^{2}\right) é inteira. Qual é a derivada de f?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: mostrar de duas formas que a função f dada por
f(z)=\exp\!\big(z^{2}\big)
é inteira, e encontrar a derivada de f. Informações dadas: a função explícita f(z)=\exp(z^{2}) definida para z\in\mathbb{C}. Não há outras hipóteses escondidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa “inteira” de forma simples e prática. Uma função complexa é inteira se for holomorfa (ou seja, complexamente diferenciável) em todo o plano \mathbb{C}. Uma maneira prática de provar que uma função é inteira é mostrar que ela é dada por uma série de potências com raio de convergência infinito (essa série define uma função analítica em todo o plano). Outra maneira é escrever a função como composição de funções já conhecidas como inteiras (polinômios, exponencial, sen, cos, etc.) e usar que a composição de funções inteiras é inteira. Vamos aplicar essas duas maneiras.

Passo 3

Primeira forma: via série de potências (método do desenvolvimento em série).
A série de potências da exponencial é a conhecida
\exp(w)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{n}}{n!},
que converge para todo w\in\mathbb{C} (raio de convergência infinito). Substituindo w=z^{2} obtemos a expansão de f:
f(z)=\exp\big(z^{2}\big)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{n!}.
Para verificar que essa série converge para todo z, apliquei o teste da razão aos termos t_n(z)=\dfrac{z^{2n}}{n!}:
\left|\frac{t_{n+1}(z)}{t_n(z)}\right|=\frac{|z|^{2}}{n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}0,
para todo z fixo. Como o quociente tende a 0, a série converge absolutamente para qualquer z, logo o raio de convergência é infinito. Portanto f é dada por uma série de potências com raio infinito e assim é analítica em todo \mathbb{C}, isto é, f é inteira.

Passo 4

Ainda pelo método da série: derivação termo a termo (justificável porque a série converge uniformemente em bolas compactas, permitindo derivação termo a termo). Derivando a série
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{n!}
obtém-se
f'(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n\,z^{2n-1}}{n!}.
Agora simplificamos os coeficientes e fazemos mudança de índice. Note que \dfrac{2n}{n!}=\dfrac{2}{(n-1)!}. Fazendo k=n-1 (ou escrevendo diretamente),
f'(z)=2z\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{2(n-1)}}{(n-1)!}=2z\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{2k}}{k!}=2z\exp\big(z^{2}\big).
Portanto, pela via da série obtemos f'(z)=2z\exp(z^{2}).

Passo 5

Segunda forma: via composição de funções inteiras (método da composição).
Observações básicas:
  • O polinômio p(z)=z^{2} é inteiro (polinômios são diferenciáveis em todo \mathbb{C}; aqui p'(z)=2z).
  • A função exponencial \exp(w) é inteira (pode-se justificar por sua série de potências com raio infinito, como lembrado antes).
A composição de duas funções inteiras é inteira. Assim, f=\exp\circ p é inteira porque \exp é inteira e p é inteira. Isso prova a primeira parte (segunda via).

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia para funções holomorfas (válida porque ambas as funções são diferenciáveis complexamente), obtemos diretamente a derivada:
f'(z)=\exp'\!\big(p(z)\big)\cdot p'(z).
Como \exp'(w)=\exp(w) e p'(z)=2z, concluímos
f'(z)=\exp\big(z^{2}\big)\cdot 2z=2z\exp\big(z^{2}\big).
Isso coincide com o resultado obtido pela diferenciação termo a termo da série.

Passo 7

Conclusão e incentivo rápido: mostramos duas razões independentes pelas quais f é inteira — pelo desenvolvimento em série com raio infinito e pela composição de funções inteiras — e calculamos a derivada explicitamente. Mandou bem por ter chegado até aqui; isso costuma cair direto na prova.

Resposta

f é inteira (pelo desenvolvimento em série com raio infinito e também por ser composição de funções inteiras).
f'(z)=2z\exp\big(z^{2}\big)

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