Mostre de duas formas que a função f(z)=\exp \left(z^{2}\right) é inteira. Qual é a derivada de f?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: mostrar de duas formas que a função f dada por
f(z)=\exp\!\big(z^{2}\big)
é inteira, e encontrar a derivada de f. Informações dadas: a função explícita f(z)=\exp(z^{2}) definida para z\in\mathbb{C}. Não há outras hipóteses escondidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa “inteira” de forma simples e prática. Uma função complexa é inteira se for holomorfa (ou seja, complexamente diferenciável) em todo o plano \mathbb{C}. Uma maneira prática de provar que uma função é inteira é mostrar que ela é dada por uma série de potências com raio de convergência infinito (essa série define uma função analítica em todo o plano). Outra maneira é escrever a função como composição de funções já conhecidas como inteiras (polinômios, exponencial, sen, cos, etc.) e usar que a composição de funções inteiras é inteira. Vamos aplicar essas duas maneiras.
Passo 3
Primeira forma: via série de potências (método do desenvolvimento em série).
A série de potências da exponencial é a conhecida
\exp(w)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{n}}{n!},
que converge para todo w\in\mathbb{C} (raio de convergência infinito). Substituindo w=z^{2} obtemos a expansão de f:
para todo z fixo. Como o quociente tende a 0, a série converge absolutamente para qualquer z, logo o raio de convergência é infinito. Portanto f é dada por uma série de potências com raio infinito e assim é analítica em todo \mathbb{C}, isto é, f é inteira.
Passo 4
Ainda pelo método da série: derivação termo a termo (justificável porque a série converge uniformemente em bolas compactas, permitindo derivação termo a termo). Derivando a série
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{n!}
obtém-se
f'(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n\,z^{2n-1}}{n!}.
Agora simplificamos os coeficientes e fazemos mudança de índice. Note que \dfrac{2n}{n!}=\dfrac{2}{(n-1)!}. Fazendo k=n-1 (ou escrevendo diretamente),
Portanto, pela via da série obtemos f'(z)=2z\exp(z^{2}).
Passo 5
Segunda forma: via composição de funções inteiras (método da composição).
Observações básicas:
O polinômio p(z)=z^{2} é inteiro (polinômios são diferenciáveis em todo \mathbb{C}; aqui p'(z)=2z).
A função exponencial \exp(w) é inteira (pode-se justificar por sua série de potências com raio infinito, como lembrado antes).
A composição de duas funções inteiras é inteira. Assim, f=\exp\circ p é inteira porque \exp é inteira e p é inteira. Isso prova a primeira parte (segunda via).
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia para funções holomorfas (válida porque ambas as funções são diferenciáveis complexamente), obtemos diretamente a derivada:
Isso coincide com o resultado obtido pela diferenciação termo a termo da série.
Passo 7
Conclusão e incentivo rápido: mostramos duas razões independentes pelas quais f é inteira — pelo desenvolvimento em série com raio infinito e pela composição de funções inteiras — e calculamos a derivada explicitamente. Mandou bem por ter chegado até aqui; isso costuma cair direto na prova.
Resposta
f é inteira (pelo desenvolvimento em série com raio infinito e também por ser composição de funções inteiras). f'(z)=2z\exp\big(z^{2}\big)