Mostre que, se duas retas cortadas por uma transversal formam um par de ángulos alternos internos congruentes, então formam também o outro par de ángulos alternos internos congruentes. Mostre também o mesmo para os pares de ángulos correspondentes.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos duas retas l e m cortadas por uma transversal t. No ponto de interseção com l definimos quatro ângulos alpha1,alpha2,alpha3,alpha4 e, no ponto de interseção com m, definimos beta1,beta2,beta3,beta4. O que vamos usar é que dois ângulos em uma reta que formam um par linear somam 180^circ. Primeiro mostramos o resultado para os ângulos alternos internos e depois para os correspondentes.

Passo 2

Considere o par de alternos internos alpha3 e beta1. Como alpha3 e alpha4 formam um par linear em l, vale
alpha3+alpha4=180^circ
De modo análogo, beta1 e beta2 formam um par linear em m, logo
beta1+beta2=180^circ
Isto implica
alpha4=180^circ-alpha3, beta2=180^circ-beta1
Se alpha3=beta1, então
alpha4=180^circ-alpha3=180^circ-beta1=beta2,
que é exatamente o outro par de ângulos alternos internos congruentes.

Passo 3

Agora, seja o par de correspondentes alpha1 e beta1. Como alpha1 e alpha2 formam par linear em l, temos
alpha1+alpha2=180^circ,
e beta1 e beta2 formam par linear em m, logo
beta1+beta2=180^circ
Então
alpha2=180^circ-alpha1, beta2=180^circ-beta1
Se alpha1=beta1, segue
alpha2=180^circ-alpha1=180^circ-beta1=beta2,
que é o outro par de ângulos correspondentes congruentes.

Resposta

Mostrou-se que, em ambas as situações, a congruência de um par de ângulos (alternos internos ou correspondentes) implica imediatamente a congruência do segundo par.

Exercícios relacionados