Seja
tal que
. Prove que (a)
(b)
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um quaternion
em
, onde
é a parte “vetorial” (totalmente imaginária) e satisfaz
.
Vamos usar as propriedades básicas dos quaternions:
Vamos usar as propriedades básicas dos quaternions:
- A parte vetorial quadrada vale menos o quadrado da norma:
. - A conjugação inverte o sinal da parte vetorial:
. - A multiplicação é distributiva e associativa em
.
Passo 2
Provar
.
Pela propriedade de quaternions puros imaginários temos
Pela propriedade de quaternions puros imaginários temos
Como
, conclui-se
Passo 3
Provar
.
Basta multiplicar o resultado do passo anterior por :
Basta multiplicar o resultado do passo anterior por
Passo 4
Provar
.
Escrevemos
Escrevemos
Primeiro calculemos
:
Agora multiplica pelo
:
Como
, isso dá
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)