Seja p in H tal que |p|=1. Prove que (a) p^2=-1H ; (b) p^3=-p ; (c)(p0^2+1H) p=p p barp.

Passo 1

O enunciado diz que temos um quaternion
p = p0 + p
em H, onde p é a parte “vetorial” (totalmente imaginária) e satisfaz lvert prvert = 1.
Vamos usar as propriedades básicas dos quaternions:
  1. A parte vetorial quadrada vale menos o quadrado da norma: p^2 = -lvert prvert^2.
  2. A conjugação inverte o sinal da parte vetorial: bar p = p0 - p.
  3. A multiplicação é distributiva e associativa em H.

Passo 2

Provar p^2 = -1 H.
Pela propriedade de quaternions puros imaginários temos
p^2 = -lvert prvert^2
Como lvert prvert = 1, conclui-se
p^2 = -1 H

Passo 3

Provar p^3 = - p.
Basta multiplicar o resultado do passo anterior por p:
p^3 = p^2, p = (-1 H), p = -, p

Passo 4

Provar l(p0^2+1 Hr) p = p, p,bar p.
Escrevemos
p, p,bar p = (p0 + p), p,(p0- p)
Primeiro calculemos (p0 + p), p:
(p0 + p), p = p0, p + p^2 = p0, p + (-1 H) = p0, p - 1 H
Agora multiplica pelo bar p = p0- p:
(p0, p - 1),(p0- p) = p0^2, p - p0, p^2 -p0 + p = p0^2, p - p0(-1) - p0 + p
Como -p0+p0=0, isso dá
p, p,bar p = p0^2, p + p = l(p0^2+1r) p

Resposta

(a) p^2 = -1 H
(b) p^3 = - p
(c) l(p0^2+1 Hr) p = p, p,bar p

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